Ерлангова расподела је двопараметарска породица непрекидних расподела вероватноће чији је носач интервал . Два параметра су: позитиван цео број „облик”, и позитиван реалан број „стопа”. Понекад се уместо њега користи „размера”, реципрочна вредност стопе.
Ерлангова расподела је расподела збира независних експоненцијалних променљивих од којих свака има средњу вредност . Еквивалентно томе, то је расподела времена до -тог догађаја Поасоновог процеса са стопом . Ерлангова и Поасонова расподела су комплементарне, у смислу да док Поасонова расподела броји догађаје који се јављају у фиксном временском периоду, Ерлангова расподела мери количину времена до појаве фиксног броја догађаја. Када је , расподела се поједностављује на експоненцијалну расподелу. Ерлангова расподела је посебан случај гама расподеле у којој је облик расподеле дискретизован.
Ерлангову расподелу је развио А. К. Ерланг како би испитао број телефонских позива који би могли истовремено бити упућени оператерима у комутационим станицама. Овај рад на телетрафичком инжењерству је проширен на разматрање времена чекања у системима редова чекања уопште. Расподела се такође користи у области случајних процеса.
Карактеризација
Функција густине вероватноће
Функција густине вероватноће Ерлангове расподеле је
Параметар се назива параметар облика, а параметар се назива параметар стопе.
Алтернативна, али еквивалентна параметризација користи параметар размере , који је реципрочна вредност параметра стопе (тј. ):
Када је параметар размере једнак 2, расподела се поједностављује на хи-квадратну расподелу са степени слободе. Стога се може сматрати уопштеном хи-квадратном расподелом за парне бројеве степени слободе.
Кумулативна функција расподеле (CDF)
Кумулативна функција расподеле Ерлангове расподеле је
где је доња непотпуна гама функција, а је доња регуларизована гама функција. Кумулативна функција расподеле се такође може изразити као
Ерланг-k Ерланг- расподела (где је позитиван цео број) је дефинисана постављањем у функцију густине вероватноће Ерлангове расподеле. На пример, Ерланг-2 расподела је , што је исто као .
Медијана Познат је асимптотски развој за медијану Ерлангове расподеле, за коју се коефицијенти могу израчунати и чије су границе познате. Апроксимација је тј. испод средње вредности
Генерисање случајних променљивих са Ерланговом расподелом
Случајне променљиве са Ерланговом расподелом могу се генерисати из униформно расподељених случајних бројева () помоћу следеће формуле:
Примене
Времена чекања
Догађаји који се дешавају независно са неком просечном стопом моделују се Поасоновим процесом. Времена чекања између појављивања догађаја имају Ерлангову расподелу. (Сродно питање о броју догађаја у датом временском периоду описује Поасонова расподела.)
Ерлангова расподела, која мери време између долазних позива, може се користити у комбинацији са очекиваним трајањем долазних позива како би се добиле информације о саобраћајном оптерећењу мереном у ерланзима. Ово се може користити за одређивање вероватноће губитка пакета или кашњења, у складу са различитим претпоставкама о томе да ли су блокирани позиви прекинути (Ерлангова B формула) или стављени у ред чекања док не буду услужени (Ерлангова C формула). Ерлангова B и C формула су и даље у свакодневној употреби за моделовање саобраћаја у применама као што је дизајн позивних центара.
Остале примене
Старосна расподела инциденце рака често прати Ерлангову расподелу, при чему параметри облика и размере предвиђају, редом, број покретачких догађаја и временски интервал између њих. Уопштеније, Ерлангова расподела је предложена као добра апроксимација расподеле времена ћелијског циклуса, као резултат вишестепених модела.
Кинезин је молекуларна машина са два „стопала” која „хода” дуж филамента. Време чекања између сваког корака је експоненцијално расподељено. Када је зелени флуоресцентни протеин везан за стопало кинезина, тада се зелена тачка видно креће са Ерланговом расподелом за .
Такође се користи у маркетингу за описивање времена између куповина.
Особине Ако је тада је са Ако је и тада је ако су независне променљиве
Повезане расподеле
Ерлангова расподела је расподела збира независних и идентично расподељених случајних променљивих, од којих свака има експоненцијалну расподелу. Дугорочна стопа по којој се догађаји јављају је реципрочна вредност математичког очекивања од односно Стопа (специфична за старост) Ерлангове расподеле је, за монотона по растућа од 0 за до када тежи бесконачности.Cox, D.R. , p20, Methuen. То јест: ако је тада је Због факторијелне функције у имениоцу функције густине вероватноће и кумулативне функције расподеле, Ерлангова расподела је дефинисана само када је параметар позитиван цео број. Заправо, ова расподела се понекад назива Ерланг- расподела (нпр. Ерланг-2 расподела је Ерлангова расподела са ). Гама расподела уопштава Ерлангову расподелу дозвољавајући да буде било који позитиван реалан број, користећи гама функцију уместо факторијела. То јест: ако је цео број и тада је Ако је и тада је Ерлангова расподела је посебан случај Пирсонове расподеле типа III Ерлангова расподела је повезана са хи-квадратном расподелом. Ако је тада је Ерлангова расподела је повезана са Поасоновом расподелом преко Поасоновог процеса: Ако је тако да је тада је и Узимање разлика по даје Поасонову расподелу.
Види још Коксијанова расподела Енгсетова формула Ерлангова B формула Ерланг (јединица) Фазна расподела Модел генерисања саобраћаја
Референце
Литература
Ian Angus „An Introduction to Erlang B and Erlang C”, Telemanagement #187 (PDF документ - садржи термине и формуле плус кратку биографију) Stuart Harris „Erlang Calculations vs. Simulation”
Спољашње везе Ерлангова расподела Димензионисање ресурса помоћу Ерланг-B и Ерланг-C
Категорија:Континуиране расподеле Категорија:Фамилија експоненцијалних расподела