thumb|right|Eden od možnih načinov nihanja krožne membrane. Ti načini so lastne funkcije linearnega operatorja na funkcijskem prostoru, kar je pogosta konstrukcija v funkcionalni analizi.
Funkcionalna analiza je veja matematične analize, katere jedro tvori preučevanje vektorskih prostorov, obdarjenih z neko vrsto limitne strukture (na primer notranjim produktom, normo ali topologijo), in linearnih funkcij, definiranih na teh prostorih, ki ustrezno upoštevajo te strukture. Zgodovinske korenine funkcionalne analize ležijo v preučevanju funkcijskih prostorov in formulaciji lastnosti transformacij funkcij, kot je Fourierova transformacija kot transformacije, ki definirajo na primer zvezne ali unitarne operatorje med funkcijskimi prostori. To stališče se je izkazalo za še posebej uporabno pri preučevanju diferencialnih in integralskih enačb.
Uporaba besede funkcional kot samostalnika sega nazaj v variacijski račun, kjer je nakazovala funkcijo, katere argument je funkcija. Izraz je bil prvič uporabljen v knjigi Jacquesa Salomona Hadamarda (1865–1963) na to temo iz leta 1910. Vendar pa je splošni koncept funkcionala že prej, leta 1887, predstavil italijanski matematik in fizik Vito Volterra (1860–1940). Teorijo nelinearnih funkcionalov so nadaljevali Hadamardovi učenci, zlasti René Maurice Fréche (1878–1973) in Paul Pierre Lévy (1886–1971). Hadamard je ustanovil tudi moderno šolo linearne funkcionalne analize, ki jo je nadalje razvil Frigyes Riesz (1880–1956) in skupina poljskih matematikov okrog Stefana Banacha (1892–1945).
V sodobnih uvodnih besedilih o funkcionalni analizi se predmet obravnava kot preučevanje vektorskih prostorov s topologijo, zlasti neskončnorazsežnih prostorov. Nasprotno pa se linearna algebra ukvarja večinoma s končnorazsežnimi prostori in ne uporablja topologije. Pomemben del funkcionalne analize je razširitev teorij mere, integriranja in verjetnosti na neskončnorazsežne prostore, znana tudi kot neskončnorazsežna analiza.
Sklici
Viri
angleški prevod: