náhľad|300x300bod|Jadro a obraz lineárneho zobrazenia . V lineárnej algebre sa jadro (nazývané aj nulový priestor) lineárneho zobrazenia definuje ako množina všetkých vektorov ktoré sa zobrazia na nulový vektor , teda:

.

Označenie jadra lineárneho zobrazenia ako pochádza z anglického slova kernel, čo znamená jadro.

Vlastnosti Nech je lineárne zobrazenie medzi vektorovými priestormi nad poľom , potom platia nasledujúce tvrdenia:

Jadro lineárneho zobrazenia je uzavreté na sčítanie a skalárne násobenie, teda tvorí lineárny podpriestor definičného oboru zobrazenia. Lineárne zobrazenie je injektívne práve vety, keď . Nech sú vektorové priestory konečnorozmerné, potom platí vzťah medzi dimenziami: , kde značí obraz lineárneho zobrazenia . Dimenzia jadra lineárneho zobrazenia sa nazýva nulitná dimenzia (alebo jednoducho nulita). Táto vlastnosť sa niekedy nazýva ako veta o dimenzii a jadra obrazu.

Dôkaz prvého tvrdenia Zrejme , pretože je lineárne zobrazenie. Stačí už len ukázať, že je uzavreté na lineárne kombinácie dvojíc vektorov . Nech sú ľubovoľné skaláry, potom

,

čo ale znamená, že .

Dôkaz druhého tvrdenia Uvažujme, že je injektívne, tak je jediný prvok definičného oboru, ktorý sa zobrazí na (z definície injektívneho zobrazenia), teda .

Naopak, nech nie je injektívne. Potom existujú dva rôzne vektory také, že , čo znamená, že

,

teda .

Náznak dôkazu tretieho tvrdenia Tretie tvrdenie sa môže dokázať tak, že bázu vektorového podpriestoru doplníme do bázy priestoru , pričom ukážeme, že nenulové obrazy vektorov bázy zobrazením tvoria bázu . Z toho už je zrejmé, že

.

Príklady

Prvý príklad Majme lineárne zobrazenie dané maticou . Jadro zobrazenia je riešením homogénnej sústavy rovíc t.j:

.

Toto vieme prepísať na sústavu lineárnich rovníc:

Riešením tejto sústavy je , teda jadro je jednorozmerný podpriestor generovaný vektorom , pričom značí lineárny obal. náhľad|Transformácia roviny, daná formulou zobrazí y-ovú os do nulového vektora .

Druhý príklad Majme lineárnu transformáciu roviny takú, že . Takúto transformáciu môžeme reprezentovať maticou . Jadro transformácie nájdeme Gaussovou-Jordanovou eliminačnou metódou:

,

čo znamená, že riešením je a , kde je parameter. Z toho máme, že .

Referencie

Kategória:Lineárna algebra