Гипотеза Ферма — Каталана — теоретико-числовая гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Каталана. Она утверждает, что уравнение
имеет не более чем конечное число решений с различными тройками значений , где — натуральные взаимно простые числа, а — натуральные числа, удовлетворяющие соотношению
На 2014-й год известно всего 10 решений этого уравнения:.
Решение — это единственное решение, в котором одно из равно 1. В этом состоит гипотеза Каталана, доказанная в 2006-м году .
Все решения были найдены для троек показателей равных .
По теореме Фальтингса для любых фиксированных натуральных , удовлетворяющих неравенству , существует не более чем конечное число троек , удовлетворяющих уравнению , но гипотеза Ферма — Каталана строже, поскольку утверждает конечность числа решений для бесконечного множества троек .
abc-гипотеза влечет гипотезу Ферма — Каталана.
Гипотеза Била состоит в том, что все решения уравнения Ферма — Каталана имеют один из показателей равный 2.
Примечания
Ссылки
Литература
Категория:Математические гипотезы Категория:Теория чисел Категория:Диофантовы уравнения