Критерий Лиувилля — Мордухай-Болтовского — критерий существования решения в обобщенных квадратурах линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения произвольного порядка.
История
Частный случай критерия (для линейных однородных уравнений второго порядка) был доказан французским математиком Лиувиллем в 1839 году. Развивая метод Лиувилля, русский математик Мордухай-Болтовской в 1910 году доказал критерий для уравнений произвольного порядка (стр. 54-55).:
Формулировка Дифференциальное уравнение n-го порядка
с коэффициентами из функционального дифференциального поля , все элементы которого представимы в обобщенных квадратурах, решается в обобщенных квадратурах, тогда и только тогда, когда выполнены оба следующие условия:
Во-первых, оно имеет решение вида
где — функция, лежащая в некотором алгебраическом расширении поля ,
Во-вторых, дифференциальное уравнение (n−1)-го порядка на функцию с коэффициентами из поля , полученное из исходного уравнения процедурой понижения порядка, решается в обобщенных квадратурах над полем .
Примечания
Литература
Пеано Категория:Дифференциальные уравнения