Фо́рмула Брахмагу́пты — обобщение формулы Герона, выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Формулировка Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон и полупериметр , то его площадь выражается формулой:

Вариации и обобщения Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например, ). На случай произвольных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть обобщена следующим образом:

где есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять, роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна , то полусумма двух других углов будет , и )

Иногда эту более общую формулу записывают так:

где и  — длины диагоналей четырёхугольника.

Если четырёхугольник описанный, тогда , и обобщённая формула Брахмагупты даёт . В частности, для вписанно-описанных четырёхугольников .

доказал, что для любого вписанного многоугольника с сторонами величина является корнем некоторого многочлена , коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для и . Другими авторами установлено, что многочлен можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень была равна , если и , если . Здесь

где — биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем , , , () и , , , ().

Если в формуле Брахмагупты выразить полупериметр через полусумму всех сторон данного четырехугольника, возвести обе части в квадрат, умножить на -16, раскрыть скобки и привести подобные, то она примет вид:

Правая часть совпадает с разложением определителя, приведенного ниже, если его умножить на -1. Поэтому можно написать, что

Есть модификация формулы Брахмагупты для геометрии Лобачевского Медных А. Д. О формуле Брахмагупты в геометрии Лобачевского. Математическое просвещение 2012. Выпуск 16. С. 172–180// http://www.mathnet.ru/links/bdaefb8812875801603ce752bfa911d2/mp299.pdf

См. также Брахмагупта Теорема Брахмагупты Формула Герона

Примечания

Популярная литература

Научная литература

Брахмагупты Категория:Планиметрия Категория:Четырёхугольники