Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты , то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.
Определение Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее.
Двустороннее Z-преобразование Двустороннее Z-преобразование дискретного временного сигнала задаётся как:
где — целое, — комплексное число.
где — амплитуда, а — угловая частота (в радианах на отсчёт)
Одностороннее Z-преобразование В случаях, когда определена только для , одностороннее Z-преобразование задаётся как:
Обратное Z-преобразование Обратное Z-преобразование определяется, например, так:
где — контур, охватывающий область сходимости . Контур должен содержать все вычеты .
Положив в предыдущей формуле , получим эквивалентное определение:
Область сходимости Область сходимости представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:
Пример 1 (без области сходимости) Пусть . Раскрывая на интервале , получаем
Смотрим на сумму:
Поэтому, не существует таких значений , которые бы удовлетворяли условию сходимости.
Связь с преобразованием Лапласа
Билинейное преобразование может быть использовано для преобразования непрерывного времени, например, при аналитическом описании линейных фильтров, представленных преобразованием Лапласа, в дискретное время выборок с периодом представленное в z-области и обратно. При таком преобразовании используется замена переменной:
Обратный переход от z-преобразования к преобразованию Лапласа производится аналогичной заменой переменной:
Билинейное преобразование отображает комплексную s-плоскость преобразования Лапласа на комплексную z-плоскость z-преобразования. Это отображение нелинейное и характерно тем, что отображает ось s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости.
Таким образом, преобразование Фурье, которое является преобразованием Лапласа для переменной , переходит в преобразование Фурье с дискретным временем. При этом предполагается, что преобразование Фурье существует, то есть ось находится в области сходимости преобразования Лапласа.
Таблица некоторых Z-преобразований Обозначения: — функция Хевисайда. для , и для всех остальных n — дельта-последовательность (не следует путать с дельта-символом Кронекера и дельта-функцией Дирака).
Сигнал, Z-преобразование, Область сходимости 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
См. также Модифицированное Z-преобразование Преобразование Лапласа Ряд Лорана
Ссылки
Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. С приложением таблиц, составленных Р.Гершелем: Пер. с немец. Серия: Физико-математическая библиотека инженера. 1971. 288 с.
Категория:Дискретные преобразования Категория:Цифровая обработка сигналов