Преобразование Конторовича — Лебедева — интегральное преобразование, задаваемое для функции формулой:
где — функция Макдональда. Обратное преобразование имеет вид:
Впервые данное преобразование было рассмотрено М. И. Конторовичем и Н. Н. Лебедевым в 1938 году.
Другие определения Иногда преобразование Конторовича — Лебедева определяют в более симметричной форме:
Ещё одним вариантом определения является:
Условия обратимости Пусть функция является непрерывной вместе со своей производной, удовлетворяющая условиями , тогда она может быть получена из своего образа посредством обратного преобразования:
Более общая формула обращения может быть получена, если имеет ограниченное изменение в точке и
тогда: ,
в частности если, кроме того, для любого выполнено: , то
Теорема Парсеваля Для преобразования Конторовича — Лебедева справедлив аналог теоремы Парсеваля:
Пусть — вещественная функция, удовлетворяющая условиям:
тогда
Справедлива и более общая теорема:
Пусть — две вещественные функции, удовлетворяющая условиям:
тогда
Таблица преобразований Функция Образ 123456789101112
Конечное преобразование Конторовича — Лебедева Конечное преобразование Конторовича — Лебедева имеет вид:
где — функция Инфельда.
Литература Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. — M, Наука, 1970
Категория:Интегральные преобразования