Деле́ние (операция деления) — действие, обратное умножению. Деление обозначается двоеточием , обелюсом , косой чертой или записывается в виде дроби.
Для натуральных чисел деление обозначает нахождение, какое число (частное) надо взять столько-то (делитель) раз, чтобы получилось данное (делимое).
Другими словами, это нахождение максимально возможного количества повторений вычитания делителя из делимого; либо нахождение такой наибольшей величины, которая может быть отнята от делимого столько раз, сколько указано в делителе.
Рассмотрим, например деление на :
Сколько раз содержится в ?
Повторяя операцию вычитания из , мы находим, что содержится в четыре раза, и ещё «остаётся» число .
В этом случае число называется делимым, число — делителем, число — (неполным) частным и число — остатком (от деления).
Полным частным, отношением или соотношением чисел и называется такое число , что . В случае, когда и , их полное частное может быть записано в виде дроби или десятичной дроби .
Полное и неполное частные чисел и совпадают тогда и только тогда, когда делится нацело (делится) на . Соответствующее свойство данной пары чисел называется делимостью.
Формы записи, терминология и история способов деления Деление записывается с использованием одного из «знаков деления» — «» между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак деления является бинарным оператором. Знак деления не имеет специального названия, как например знак сложения, который называется «плюс». Самый старый из используемых символов видимо — косая черта (/). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г. Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде двоеточия (:) Этот символ он использовал в своём труде Acta eruditorum 1684 г. До Лейбница этот знак был использован англичанином Джонсоном в 1633 году в своей книге, но как знак дроби, а не деления в узком смысле. Йоханн Ран ввёл знак обелюс (÷) в качестве знака деления, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г. Знак Рана часто называют «английским знаком деления». В русскоязычных учебниках математики в основном используется знак в виде двоеточия (:). Косая черта (/) используется в компьютерной нотации. Результат записывается с использованием знака равенства «», например: ; («шесть разделить на три равно два»); («шестьдесят пять разделить на пять равно тринадцать»).
Способ «деления столбиком», которому обучают в современных школах, попал в Европу от арабов и получил названия «золотого деления» (по сравнению с гораздо более сложным «железным делением» на абаке, применявшимся ранее). Он долгое время конкурировал с делением «методом галеры».
«Dura cosa e la partita» — звучит старинная итальянская поговорка, которая значит в русском переводе: «трудная вещь —деление». Не даром Лука де-Бурго, итальянский математик XVI века, утешает начинающих учиться юношей и говорит, что «кто умеетъ делить, тому все остальное пустяки, потому что все заключается в делении». И наш Магницкий не отстает в этом случае и тоже, кончивши деление, вздыхает свободно и назидает своих «мудролюбивых отроков» стихами:
Первую часть докончивше
И вся в целых изучивше,
Их в памяти твердо держим
И за та вся Бога блажим,
Что даде нам без напасти
Зрети конец первой части.
Трудно деление нашим школьникам и в настоящее время. Но неизмеримо, бесконечно труднее было оно в старинные времена и особенно в начале средних веков. Тогда из столкновения римской и арабской учености не успело еще выработаться сколько-нибудь сносной системы, да кроме того, сам характер преподавания, которого держались тогда в монастырских школах, был сух, бессердечен, неприноровлен к силам детей и требовал от них нечеловеческого напряжения. Тот, кто оказывался в состоянии понимать деление, признавался чуть не гением и ему давали почетный титул «доктора абака», в роде нашего «доктора математики» или «доктора медицины». Нормальным, заурядным детям нечего было и мечтать о таком трудном, мудреном действии, и они скромно ограничивались сложением и вычитанием, с придачей таблицы умножения. Вот что значило неумение преподавать, отсутствие понятных учебников и усложненность вычислений.
Свойства Операция деления на числовых множествах имеет следующие основные свойства: Деление не перестановочно (не коммутативно) — от перемены мест аргументов частное изменяется:
Деление не ассоциативно — при последовательном выполнении деления трёх или более чисел последовательность выполнения операций имеет значение, результат изменится:
Деление дистрибутивно справа, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве, также известно, как распределительный законТак эти свойства называются в учебниках для младших классов : Дистрибутивность: Относительно деления в множестве существует единственный нейтральный элемент справа (число ), деление на единицу (или нейтральный элемент) даёт число, равное исходному: Нейтральный элемент справа: Относительно деления в множестве существует единственный обратный элемент, получаемый делением единицы на число, что даёт число, обратное исходному: Обратный элемент: Относительно деления в множестве существует единственный нулевой элемент слева — число , делённое на любое число, даёт нуль: Нулевой элемент слева: По правилам обычной арифметики деление на ноль (нулевой элемент) не определено; Деление на ноль: Деление на противоположный элемент даёт минус единицу:
Результат деления не всегда является определённым для множеств натуральных чисел и целых чисел , чтобы получить натуральное или целое число в результате деления, делимое должно быть кратно делителю. Невозможно в рамках этих чисел получить дробный результат. В этом случае говорится о делении с остатком. То есть деление на этих множествах есть частичная бинарная операция.
Операция деления, определённая на множествах (в полях) рациональных , вещественных и комплексных чисел , даёт число (частное), принадлежащее этому же множеству, следовательно, множества замкнуты относительно операции деления (в точке 0 имеется разрыв второго рода — следовательно кольца рациональных, вещественных и комплексных чисел разомкнуты относительно операции деления).
В математических выражениях операция деления имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними.
Выполнение деления
Деление является гипероператором вычитания и сводится к последовательному вычитанию. :
где: — последовательность операций вычитания, выполненная раз.
При практическом решении задачи деления двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: вычитание, сравнение, перенос и др. Для этого разработаны различные методы деления, например для чисел, дробей, векторов и др. В русскоязычных учебниках математики в настоящее время используется алгоритм деления столбиком. При этом следует рассматривать деление как процедуру (в отличие от операции).
Схема, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:
Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места.
Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при делении больших чисел может занять продолжительное время. Данная процедура применима к делению натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей вычитания соответствующей данному основанию системы счисления.
Пример деления натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления:
110010│101 │ 0 — 0 50800│25 │ 0 — 0 CD530│A8 │ 0 — 0 101 │1010 │ -101 — 1 50 │2032 │ -25 — 1 A8 │138E │ -A8 — 1 10 08 │ -50 — 2 255 │ -150 — 2 0 0 │ -75 — 3 1F8 │ -1F8 — 3 101 80 │ -100 — 4 5D3 │ -2A0 — 4 101 75 │ ... — ... 540 │ -348 — 5 00 50 930 │ -3F0 — 6 0 50 930 │ -498 — 7 0. 0. 0. │ -540 — 8 │ -5E8 — 9 │ -690 — A │ -738 — B │ -7E0 — C │ -888 — D │ -930 — E
Деление чисел
Натуральные числа Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств порождённых биекциями, с помощью скобок: . Тогда математическая операция «деление» определяется следующими образами: — деление на равные части (отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения), частным чисел и называется число элементов каждого подмножества разбиения; — деление по содержанию (отыскание числа подмножеств разбиения), частным чисел и называется число (количество) подмножеств разбиения; где: это — разбиение конечного множества на равночисленные попарно не пересекающиеся подмножества, такие что:
для любых коэффициентов , таких что
— остаток (множество оставшихся элементов), ,
— нульарная операция «выделение элемента».
В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, говорится о делении с остатком. На остаток накладываются следующее ограничение (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён): , ,
где: — делимое, — делитель, — частное, — остаток.
Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.
Арифметическая операция «деление» частична для множества натуральных чисел , (для полукольца натуральных чисел).
Деление целых чисел Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел — достаточно поделить их модули и учесть правило знаков.
Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае, (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, с остатком (-1)); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается и ограничения заимствуются из натуральных чисел: . Для устранения неоднозначности принято соглашение: остаток от деления всегда неотрицателен.
Деление рациональных чисел Замыкание множества целых чисел по операции деления приводит к расширению его до множества рациональных чисел. Это приводит к тому, что результатом деления одного целого числа на другое всегда является рациональное число. Более того, полученные числа (рациональные) уже полностью поддерживают операцию деления (замкнуты относительно неё).
Правило деления обыкновенных дробей:
Деление вещественных чисел Множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле, обозначается . Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжениеПоскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида соответствующих операций над рациональными числами.
Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:
определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: и , то их частным называют число , определённое частным последовательностей и : , вещественное число , удовлетворяет следующему условию: