Быстрота́ (, иногда применяются также термины рапи́дити, гиперско́рость и угол лоренцева поворота) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»). Поэтому в задачах, связанных с релятивистскими движениями (например, кинематика реакций частиц в физике высоких энергий), часто удобнее пользоваться формализмом быстрот, а не обычных скоростей.
Определение и свойства Быстрота выражается формулой:
где — быстрота, — обычная скорость, — скорость света, — ареатангенс.
Ареатангенс (или гиперболический арктангенс) определён в области значений аргумента от −1 до +1; при функция
Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от до меняется от до . Иногда вводят также параметр быстроты — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой (особенно при обычном в физике высоких энергий использовании системы единиц, где , которая значительно упрощает формулы; при таком определении быстрота становится безразмерной и совпадает с параметром быстроты).
В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости: при .
В ультрарелятивистском случае параметр быстроты можно выразить через энергию и продольный импульс (где — угол вылета) следующим образом:
При этом энергия и продольный импульс частицы могут быть выражены через массу частицы, поперечный импульс и параметр быстроты:
Фактор Лоренца Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца, или ло́ренц-фа́ктор, названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как
Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:
С увеличением скорости от 0 до лоренц-фактор увеличивается от 1 до .
Гиперболический синус параметра быстроты равен произведению лоренц-фактора и безразмерной скорости:
Аддитивность быстроты Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна , а скорость второй относительно первой равна (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе через . При малых (по сравнению со скоростью света ) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей . Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей
отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты . Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта равна сумме быстрот:
Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.
Вводится также полная быстрота аддитивная при преобразованиях Лоренца и представляющая собой расстояние в пространстве скоростей. Быстрота является продольной составляющей полной быстроты.
Геометрический смысл быстроты В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского () этот угол является мнимым.
В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица определяется соотношением ) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом , где и — действительные. При этом угол является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку , а — интервалом от начала отсчёта до точки (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через ). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем . В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол . Два последовательных лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты, аналогичную аддитивности угла поворота:
Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту Релятивистский импульс:
где: — масса, — скорость света, — параметр быстроты (безразмерная быстрота). Полная энергия:
Скорость в СТО: Безразмерная скорость Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):
где — параметр красного смещения.
См. также Псевдобыстрота Лоренцевский буст
Литература
Примечания
Категория:Специальная теория относительности Категория:Физические величины Категория:Безразмерные параметры Категория:Скорость