Континуальное распределение Гаусса было введено в квантовой теории поля как расширение понятия распределения Гаусса для конечномерных векторов на континуальные пространства скалярных и векторных полей. Континуальное распределение активно используется в аппарате функциональных интегралов.
Определение Рассмотрим поле из некоторого пространства , определяемого условиями задачи (как правило, задача определяет условия вроде гладкости и убывания на бесконечности). В общем случае имеет произвольное количество значков и аргументов. Обозначив множество значков поля как , а набор аргументов как , нормальной (Гауссовой) плотностью распределения назовём функционал
,
где — область определения аргументов поля , по наборам значков и подразумевается суммирование, — ядро некоторого дифференциально-интегрального оператора , а — нормировочная константа.
Это определение, как правило, записывают более коротко, опуская значки, аргументы и интегрирования:
.
Средние значения Пусть мы хотим вычислить среднее значение некоторой величины (функции состояния) . Введём операцию усреднения
В правой части выражения написан функциональный (континуальный) интеграл (подробнее см. Функциональный интеграл).
Вычисление континуальных Гауссовых интегралов Для континуальных Гауссовых интегралов работает обобщение формулы для n-мерных Гауссовых интегралов на континуальный случай:
.
Условие и константа нормировки Вводя условие нормировки
и используя формулу из предыдущего пункта, получим
.
См. также Теорема Вика для функционального интеграла Производящий функционал Функциональный интеграл
Литература
Категория:Квантовая теория поля Категория:Статистическая физика