Группа Шрёдингера — это группа симметрии конфигурационного пространства уравнения Шрёдингера. Её образуют преобразования, отображающие физически эквивалентные точки конфигурационного пространства друг в друга. Группа Шрёдингера может быть определена из общих физических соображений. В неё входят: преобразование, осуществляющее перестановку электронов; преобразование, осуществляющее вращение системы координат; преобразование Галилея.
Для группы Шрёдингера уравнения Шрёдингера свободной частицы вида:
при преобразовании Галилея вида:
и
может быть получена алгебра Шрёдингера.
Алгебра Шрёдингера Алгебра Шрёдингера это алгебра Ли группы Шрёдингера.
Она содержит алгебру Галилея с центральным расширением.
Тут
— оператор полного момента количества движения, отвечающий вращениям ,
— оператор импульса, отвечающий смещению в пространстве на отрезок ,
— оператор энергии, отвечающий сдвигу начала отсчёта по временной шкале на ,
— оператор, отвечающий галилеевскому преобразованию .
Центральное расширение M интерпретируется как нерелятивистская масса и соответствует симметрии уравнения Шрёдингера при фазовых преобразованиях (и отвечает сохранению вероятности).
Алгебра Шрёдингера имеет две инвариантные величины:
— здесь можно рассматривать как внутреннюю энергию.
— здесь можно рассматривать как внутренний момент количества движения частицы.
Ещё есть два генератора, которые мы обозначим и . У них следующие коммутационные соотношения:
Генераторы , и образуют алгебру .
Роль группы Шрёдингера в математической физике Хотя группа Шрёдингера и определяется как группа симметрии свободного уравнения Шрёдингера, она реализуется в некоторых нерелятивистских системах с взаимодействием (к примеру, холодные атомы в критической точке).
Группа Шрёдингера d пространственных размерностей может быть вложена в релятивистскую конформную группу в d+1 размерностях SO(2,d+2). Это вложение отвечает тому факту, что можно получить уравнение Шрёдингера из безмассового уравнения Клейна-Гордона с помощью компактификации Калуцы-Клейна.
Примечания
Литература C. R. Hagen , Scale and Conformal Transformations in Galilean-Covariant Field Theory, Phys. Rev. D 5, 377—388 (1972) Arjun Bagchi, Rajesh Gopakumar, Galilean Conformal Algebras and AdS/CFT, JHEP 0907:037,2009 D.T.Son, Toward an AdS/cold atoms correspondence: A geometric realization of the Schrödinger symmetry, Phys. Rev. D 78, 046003 (2008)
См. также Уравнение Шрёдингера Преобразования Галилея Группа Пуанкаре Теорема Баргмана
Категория:Теоретическая физика Категория:Квантовая механика Категория:Группы Ли