Гессиан функции — симметрическая квадратичная форма, описывающая поведение функции во втором порядке. Для функции , дважды дифференцируемой в точке (или ), определяется как:
или , где (или ) и функция задана на -мерном вещественном пространстве (или комплексном пространстве ) с координатами (или ). В обоих случаях гессиан — квадратичная форма, заданная на касательном пространстве, не меняющаяся при линейных преобразованиях переменных.
Понятие введено Людвигом Гессе (1844), который использовал другое название; термин «гессиан» был предложен Джеймсом Сильвестром.
Матрица Гессе Матрица этой квадратичной формы образована вторыми частными производными функции. Если все производные существуют, то:
Определитель этой матрицы называется определителем Гессе, иногда — гессианом (по аналогии с функциональным определителем матрицы из первых производных — якобианом, из-за чего может возникать неоднозначность собственно с гессианом как квадратичной формой).
Матрицы Гессе используются в задачах оптимизации методом Ньютона. Полное вычисление матрицы Гессе может быть затруднительно, поэтому были разработаны квазиньютоновские алгоритмы, основанные на приближённых выражениях для матрицы Гессе. Наиболее известный из них — алгоритм Бройдена — Флетчера — Гольдфарба — Шанно.
Смешанные частные производные функции — элементы матрицы Гессе, стоящие не на главной диагонали. Если они непрерывны, то порядок дифференцирования не важен (равенство смешанных производных): , то есть в этом случае матрица Гессе симметрична.
Критические точки функции Если градиент (её векторная производная) равен нулю в некоторой точке , то эта точка называется критической. Достаточным условием существования экстремума в этой точке является знакоопределённость гессиана (понимаемого в данном случае как квадратичная форма), а именно: если гессиан положительно определён, то — точка локального минимума функции , если гессиан отрицательно определён, то — точка локального максимума функции , если гессиан не является знакоопределённым (принимает как положительные, так и отрицательные значения) и невырожден , то — седловая точка функции .
Вариации и обобщения
Вектор-функции Если — вектор-функция, то есть: , то её вторые частные производные образуют не матрицу, а тензор ранга 3, который можно рассматривать как массив из матриц Гессе: . При данный тензор вырождается в обычную матрицу Гессе.
Окаймлённый гессиан При решении задачи нахождения условного экстремума функции с ограничениями
где , , для проверки достаточных условий экстремума можно использовать так называемый окаймлённый гессиан функции Лагранжа , который будет иметь вид: . Проверка достаточных условий экстремума заключается в вычислении знаков детерминантов определённого набора подматриц окаймлённого гессиана. Именно, если существуют и такие, что и:
для , то в точке функция имеет строгий условный минимум. Если же:
для , то в точке функция имеет строгий условный максимум.
См. также Лемма Морса Критерий Сильвестра — критерий положительной или отрицательной определённости квадратной матрицы
Примечания
Литература
Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. - 2001. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ». М.: Физматлит, 2002, — 424 с. — ISBN 5-9221-0185-4. Или любое другое издание. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. — М.: Мир, 1977.
Категория:Теория Морса Категория:Математический анализ Категория:Типы матриц Категория:Дифференциальные операторы