*-алгебра (алгебра с инволюцией, алгебра с операцией сопряжения) — ассоциативная алгебра с инволюцией, которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению.

*-кольцо *-кольцо — кольцо с унарной операцией *, которое является

антиавтоморфизмом, то есть

и инволюцией, то есть

Такое кольцо ещё называется кольцо с инволюцией.

*-алгебра *-алгебра A — это *-кольцо, которое является ассоциативной алгеброй над другим *-кольцом R, с согласованием операции * в

Базовое *-кольцо это, обычно, комплексные числа (где * — комплексное сопряжение).

Тогда * сопряженно-линейное, то есть .

*-гомоморфизм  — это гомоморфизм алгебр, который отображает инволюцию в A на инволюцию в B, то есть:

Элементы для которых называются само-сопряженными, симметричными или эрмитовыми. Элементы для которых называются косо-сопряженными, анти-симметричными или анти-эрмитовыми. Можно определить эрмитову форму с помощью операции * в виде .

C*-алгебра

C*-алгебра — банахова *-алгебра над полем комплексных чисел, для которой выполняется C*-свойство:

Оба условия эквивалентны.

Также они эквивалентны В*-свойству

Примеры

Самым известным примером являются комплексные числа с операцией сопряжения. Квадратные матрицы с комплексными элементами с операцией эрмитового сопряжения. Эрмитовое сопряжения линейного оператора в гильбертовом пространстве.

Свойства Многие свойства сопряжения для комплексных чисел хранятся в *-алгебрах: Если элемент 2 в кольце обратим, тогда и является ортогональными идемпотентами. Как векторное пространство, алгебра разлагается в прямую сумму подпространств симметричных и анти-симметричных (эрмитовых и анти-эрмитовых) элементов. Эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Йордана. Анти-эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Ли.

Обозначения Операция инволюции записывается обычно в виде символа звёздочки (астериска), указываемого после операнда, находящегося на уровне средней линии или слегка поднятого над нею:

или (: x^*), но не «» так как символ звёздочки для бинарных операций находится ниже средней линии. Иногда используется также надстрочная черта , как в комплексном сопряжении, или (поднятый типографский крестик).

См. также Операторные алгебры Процедура Кэли — Диксона иногда строит *-алгебру

Библиография H. G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, с. 142—150.

Категория:Алгебры над кольцами Категория:Теория колец