Гипотеза Гильбрайта — гипотеза в теории чисел, утверждающая, что если взять последовательность простых чисел и итерационно применять к ней разностный оператор, то получаемые на каждом шаге последовательности всегда будут начинаться на 1. Гипотеза получила известность после того, как была опубликована в 1958 году Норманом Гильбрайтом .. Однако, ещё в 1878 году публиковал предполагаемое доказательство этой же гипотезы, которое, как затем выяснилось, было ошибочным.
Истоки гипотезы Рассмотрим последовательность простых чисел
Вычислим абсолютные значения разностей между каждой парой соседних членов и выпишем полученную последовательность:
Продолжая выполнять данную операцию для каждой новой полученной последовательности, будем получать следующее:
Видим, что первый элемент каждой последовательности равен .
Гипотеза Сформулировать гипотезу Гильбрайта проще, если ввести некоторые обозначения для последовательностей из предыдущей секции. обозначим упорядоченную последовательность простых чисел , и определим члены последовательности как
,
где n — натуральное. Считаем также, что и для каждого натурального , определим последовательность формулой
.
(здесь — это не степень, а верхний индекс)
Гипотеза Гильбрайта утверждает, что каждый член последовательности равен .
Проверка и попытки доказательства На 2011 год не было правильного опубликованного доказательства гипотезы. Как уже говорилось во введении, привёл доказательство утверждения, однако позже было показано, что оно ошибочно. в 1993 проверил, что равно 1 для всех ., но гипотеза остается открытой проблемой. Вместо вычисления всех рядов таблицы, Одлыжко вычислил 635 рядов и установил, что 635-й ряд начинается с 1 и далее вплоть до -го элемента состоит только из чисел 0 и 2. Отсюда следует, что все последующие рядов начинаются с единицы.
Последовательности для простых чисел до 150
В таблице ниже нули выделены зелёным цветом, единицы — красным, двойки — синим, прочие числа — серым. Суть гипотезы состоит в том, что серая область никогда не достигнет красного столбца из единиц.
235711131719232931374143475359616771737983899710110310710911312713113713914912242424626424662642646842424144621010222222442222044224222422221010248120000020200024020220022000808241200002222002242220202020088862120002000202022002222222080024120022002222202020000002880221202020200002222200000260820122222220002000020000246862100000020022000220002222241000002202020020200200002100002022222022220220002100022200002200022020021002002000202002022202102202200222202220022120220202000220020201220222220020202222102200002022222000120200022200002001222002002000220100202202200202102220220202221200220222200120202200020122220200221000222020100200222102202001202220122002102021222100101
См. также Пробелы между простыми Открытые проблемы в теории чисел
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Аналитическая теория чисел Категория:Открытые проблемы в теории чисел Категория:Гипотезы о простых числах