Теорема Каратеодори о продолжении меры — утверждение теории меры, согласно которому произвольная счётно-аддитивная мера на некотором кольце подмножеств множества может быть продолжена на -кольцо, порождённое кольцом , а в случае -конечности меры — такое продолжение является единственным. Из теоремы, в частности, вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега. Впервые установлена Морисом Фреше в 1924 году, впоследствии найдена Константином Каратеодори, с чьим именем традиционно связывается, иногда в литературе результат также упоминается как теорема Каратеодори — Хопфа, теорема Хопфа о продолжении меры, теорема Хана — Колмогорова.

Теорема для  — кольца подмножеств множества с мерой и  — -кольца, порождённого утверждает, что существует мера такая, что , единственное и -конечное в случае -конечности .

Более того, продолжение существует для меры, заданной на полукольце, то есть семействе подмножеств , удовлетворяющих следующим условиям: ; для любых пересечение ; для любых существуют такие попарно непересекающиеся множества , где , что .

Однако этот случай легко сводится к предыдущему, поскольку каждое полукольцо порождает кольцо , элементами которого являются всевозможные конечные дизъюнктные объединения множеств из : ,

а мера , заданная на полукольце, продолжается на всё кольцо: , где , .

Построение продолжения Если  — мера, определённая на кольце подмножеств множества , то на подмножествах можно определить функцию:

.

Эта функция является внешней мерой, порождённой мерой . Если — семейство подмножеств множества , таких что для всех выполняется , то является -кольцом, и на нём можно определить меру для всех . Определённая таким образом функция является мерой, которая совпадает с на множествах кольца . Также содержит -алгебру и сужение на элементы и будет необходимым расширением меры.

-кольцо является пополнением кольца , соответственно, они совпадают, если определённая мера на является полной.

Примеры Если на действительной прямой взять полукольцо интервалов , где и мера равна , то представленная конструкция дает определение меры Бореля на борелевских множествах . Множеству здесь соответствует множество измеримых по Лебегу множеств.

Условие -конечности является необходимым для единственности продолжения. Например, на множестве всех рациональных чисел промежутка можно задать полукольцо промежутков с рациональными концами , где  — рациональные числа из промежутка . -кольцо, порождённое этим полукольцом, является множеством всех подмножеств . Пусть теперь равно количеству элементов , а . Тогда обе меры совпадают на полукольце и порождённом кольце (поскольку все непустые множества полукольца и кольца являются бесконечными, то обе меры на всех этих множествах равны ), но не совпадают на порождённом -кольце. То есть в данном случае продолжение не является единственным.

Литература

Категория:Теория меры