Дифференциа́л (от «разность, различие») — линейная часть приращения функции.
Обозначения Обычно дифференциал функции обозначается . Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.
Дифференциал в точке обозначается , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.
Соответственно, значение дифференциала в точке от может обозначаться как , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.
Использование знака дифференциала Знак дифференциала используется в выражении для интеграла . При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал вводится как часть определения интеграла. Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции и тождественной функции верно соотношение:
Определения
Для функций Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция
где обозначает производную в точке , а — приращение аргумента при переходе от к .
Таким образом есть функция двух аргументов .
Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция , линейно зависящая от , и для которой верно следующее соотношение
Для функции нескольких переменных Дифференциалом отображения в точке называют линейное отображение такое, что выполняется условие
Связанные определения Отображение называется дифференцируемым в точке , если определён дифференциал .
Геометрический смысл понятия дифференциала
Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной в этой точке, когда получит приращение Лобанов В. Н., Лобанов М. В., Лобанов Н. В. Использование интерактивных динамических иллюстраций важнейших физических и математических понятий в преподавании физики // Физика в школе. — 2025. — № 5. — С. 14–24. doi: 10.47639/0130-5522_2025_5_14.
Свойства Матрица линейного оператора равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные . Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён. Дифференциал функции связан с её градиентом следующим определяющим соотношением
История Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики, за исключением нестандартного анализа.
Вариации и обобщения Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать, получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.
Дифференциал (дифференциальная геометрия) Дифференциалы высших порядков Дифференциал Ито Внешний дифференциал Производная Пеано Производная Фреше Вариация функционала Производная Лагранжа
Примечания
Литература Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Лобанов В. Н., Лобанов М. В., Лобанов Н. В. Использование интерактивных динамических иллюстраций важнейших физических и математических понятий в преподавании физики // Физика в школе. — 2025. — № 5. — С. 14–24. doi: 10.47639/0130-5522_2025_5_14