Формула пяти элементов в сферической тригонометрии выражает соотношение между пятью элементами сферического треугольника.
Описание Весь основной набор формул пяти элементов для различных углов и сторон треугольника может быть разделён на две группы:
Формулы, связывающие три стороны и два угла, иначе называемые формулами синуса стороны на косинус угла. Вот одна из нихSpherical Trigonometry на сайте MathWorld:
Формулы, связывающие три угла и две стороны, иначе называемые формулами синуса угла на косинус стороны. Одна из них имеет вид:
В формуле синуса стороны на косинус угла сторона и прилежащий к ней угол выражаются через другие две стороны и угол между ними. Для каждой стороны можно взять один из двух прилежащих углов, поэтому всего таких формул шесть.
В формуле синуса угла на косинус стороны сторона и прилежащий к ней угол выражаются через другие два угла и прилежащую к ним сторону. Таких формул — тоже шесть.
Каждая формула синуса угла на косинус стороны двойственна к одной из формул синуса стороны на косинус угла, поскольку углы и стороны всякого сферического треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами соответствующего полярного треугольника. Поэтому достаточно доказать только формулы синуса стороны на косинус угла. Более того, две формулы синуса стороны на косинус одного прилежащего угла и синуса той же стороны на косинус другого прилежащего угла получаются совершенно аналогично. А из этих двух формул остальные четыре формулы синуса стороны на косинус угла получаются при помощи круговой перестановки букв:
Таким образом, достаточно доказать одну из формул синуса стороны на косинус угла.
Доказательство Доказательство проведём с помощью проекций. На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM — перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM — перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим, что угол MPN равен b, кроме того, BM = R sin a, BN = R sin c и OM = R cos a. Далее, проецируем ломаную NOMP на прямую, содержащую NP.
Подставляем четыре последних выражения в первое и получаем:
Применение Применяя формулу пяти элементов вместе с некоторыми другими формулами сферической тригонометрии, можно, например, получить формулы преобразования между системами небесных координат: горизонтальной, экваториальной, эклиптической и галактической.
История Формула пяти элементов была выведена Леонардом Эйлером в 18 веке.
Примечания
Категория:Сферическая геометрия Пяти элементов (сферическая геометрия)