Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается . Результатом является блочная матрица.
Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.
Определение Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq
В развёрнутом виде
Если A и B представляют собой линейные преобразования V1 → W1 и V2 → W2, соответственно, то A ⊗ B представляет собой тензорное произведение двух отображений, V1 ⊗ V2 → W1 ⊗ W2.
Пример
.
Билинейность, ассоциативность и некоммутативность
Произведение Кронекера является частным случаем тензорного произведения, и значит оно является билинейным и ассоциативным:
где A, B и C есть матрицы, а k — скаляр.
Произведение Кронекера не является коммутативным. Хотя, всегда существуют такие матрицы перестановки P и Q, что
Если A и B квадратные матрицы, тогда A B и B A являются перестановочно подобными, то есть, P = QT.
Транспонирование Операции транспонирования и эрмитова сопряжения можно переставлять с произведением Кронекера:
Смешанное произведение Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда
A B является обратимой тогда и только тогда, когда A и B являются обратимыми, и тогда
, где - произведение Адамара
, где - единичная матрица.
Сумма и экспонента Кронекера Пусть A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и — единичная матрица размера k×k. Тогда можно определить сумму Кронекера как
Также справедливо
Спектр, след и определитель Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ1, …, λn — собственные значения матрицы A и μ1, …, μq собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A B являются
След и определитель произведения Кронекера равны
Сингулярное разложение и ранг Если матрица A имеет rA ненулевых сингулярных значений:
Ненулевые сингулярные значения матрицы B:
Тогда произведение Кронекера A B имеет rArB ненулевых сингулярных значений
Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений,
История
Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.
Блочные версии произведения Кронекера
В случае блочных матриц могут использоваться матричные операции, связанные c произведением Кронекера и отличающиеся порядком соответствующего перемножения блоков. Таковыми являются произведения Трейси – Сингха () и произведение Хатри — Рао.
Произведение Трейси-Сингха Указанная операция перемножения блочных матриц заключается в том, что каждый блок левой матрицы умножается последовательно на блоки правой матрицы. При этом формируемая структура результирующей матрицы отличается от характерной для произведения Кронекера. Произведение Трейси – Сингха определяется как
Например:
Произведение Хатри-Рао
Данный вариант умножения определён для матриц с одинаковой блочной структурой. Он предусматривает, что операция кронекеровского произведения выполняется поблочно, в пределах одноимённых матричных блоков по аналогии с поэлементным произведением Адамара, только при этом в качестве элементов фигурируют блоки матриц, а для умножения блоков используется кронекеровское произведение.
Примечания
Литература Хорн Р. Матричный анализ: Пер. с англ. / Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М.: Мир, 1989.– 655 с.
Категория:Матрицы Категория:Бинарные операции