Метод характеристик — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применён и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка.
Принцип Метод заключается в приведении уравнения в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для этого требуется найти кривые (именуемые характеристиками), вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.
Примеры
Квазилинейное уравнение на плоскости Рассмотрим следующее квазилинейное уравнение относительно неизвестной функции
Рассмотрим поверхность в . Нормаль к этой поверхности задается выражением
В результате получим, что уравнение эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле
является касательным к поверхности в каждой точке.
В этом случае уравнения характеристик могут быть записаны в виде:
или же, если x(t), y(t), z(t) суть функции параметра t:
То есть поверхность образована однопараметрическим семейством описанных кривых. Такая поверхность полностью задаётся одной кривой на ней трансверсальной к векторному полю .
Уравнение переноса Рассмотрим частный случай уравнения выше, так называемое уравнение переноса (возникает при решении задачи о свободном расширении газа в пустоту):
где постоянная, а — функция переменных и .
Нам бы хотелось свести это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль соответствующей кривой, то есть получить уравнение вида , где — характеристика.
Вначале мы устанавливаем
Теперь, если положить и , получим , что является левой частью уравнения переноса, с которого мы начали. Таким образом,
Как видно, вдоль характеристики исходное уравнение превращается в ОДУ , которое говорит о том, что вдоль характеристик решение постоянное. Таким образом, , где точки и лежат на одной характеристике. Видно, что для нахождения общего решения достаточно найти характеристики уравнения, решая следующую систему ОДУ:
, при решение — , , при решение — , , при решение — .
В нашем случае, характеристики — это семейство прямых с наклоном , и решение остается постоянным вдоль каждой из характеристик.
Постановка задачи Коши Для выбора частного решения из общего необходимо поставить задачу Коши, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Начальное условие задается на начальной гиперповерхности S:
В общем случае почти невозможно сформулировать условие глобальной разрешимости задачи Коши, однако если ограничиться условием локальной разрешимости, можно воспользоваться следующей теоремой:Решение задачи Коши в окрестности точки существует и единственно, если проходящая через характеристика трансверсальна поверхности S
Примечания
Литература
.
Категория:Дифференциальные уравнения