Группа называется конечной -группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.

Основные свойства конечных p-групп Пусть  — конечная -группа, тогда P — нильпотентна. , где  — центр группы P. Для любого в существует нормальная подгруппа порядка . Если нормальна в , то . . .

Некоторые классы конечных p-групп В данном разделе описаны определения и свойства некоторых классов конечных -групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.

p-группы максимального класса Конечная -группа порядка называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна .

Если  — конечная -группа максимального класса, то и .

Единственными 2-группами порядка максимального класса являются: диэдральная группа , обобщённая группа кватернионов и полудиэдральная группа .

В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.

p-центральные p-группы Конечная -группа называется -центральной, если . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной -группы.

Мощные p-группы Конечная -группа называется мощной, если при и при . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию -центральной -группы.

Регулярные p-группы Конечная -группа называется регулярной, если для любых выполнено , где . Регулярными будут, например, все абелевы -группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.

Любая подгруппа и факторгруппа регулярной -группы регулярна. Конечная -группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна. Конечная -группа порядка не большего является регулярной. Конечная -группа класс нильпотентности которой меньше является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при . Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.

Конечные p-группы небольших порядков Число различных p-групп порядка pn Число неизоморфных групп порядка равно 1: группа . Число неизоморфных групп порядка равно 2: группы и . Число неизоморфных групп порядка равно 5, из них три абелевы группы: , , и две неабелевы: при  — и ; при p = 2 — , . Число неизоморфных групп порядка равно 15 при , число групп порядка равно 14. Число неизоморфных групп порядка равно при . Число групп порядка равно 51, число групп порядка равно 67. Число неизоморфных групп порядка равно при . Число групп порядка равно 267, число групп порядка равно 504. Число неизоморфных групп порядка равно при . Число групп порядка равно 2328, число групп порядка равно 9310, число групп порядка равно 34297.

p-группы порядка pn, асимптотика При число неизоморфных групп порядка асимптотически равно .

Знаменитые проблемы теории конечных p-групп

Группа автоморфизмов конечной p-группы Для групп -автоморфизмов конечной -группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:

Пусть является нециклической -группой порядка , тогда .

Эта гипотеза подтверждена для обширного класса -групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более , групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.

Гипотеза Хигмена Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка нильпотентна.

Пусть группа обладает регулярным автоморфизмом простого порядка . Тогда её класс нильпотентности равен .

Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: (Кострикин, Крекнин).

Ослабленная гипотеза Бернсайда Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с образующими и периодом (то есть все её элементы удовлетворяют соотношению ), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через . Тогда все другие группы с таким же свойством будут её факторгруппами. Действительно, как легко показать группа является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы равен . Однако, как показали Новиков и Адян, при и при любом нечётном группа бесконечна.

Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных -порождённых групп периода ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных групп она означает, что существует лишь конечное число групп данной экспоненты и с данным числом образующих.

Нерегулярные p-группы Классификация нерегулярных p-групп порядка .

Литература Белоногов В. А. Задачник по теории групп — : Наука, 2000.

Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — , 1962. Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371. Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation). Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation). Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968. Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967. Lazard M. Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603. Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515. Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint. Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.

Ссылки Система GAP.

Категория:Конечные группы