ε-сеть (эпсилон-сеть, ε-плотное множество) для подмножества метрического пространства есть множество из того же пространства такое, что для любой точки найдётся точка , удалённая от не более чем на .
Связанные определения Метрическое пространство, в котором для каждого существует конечная -сеть, называется вполне ограниченным.
Метрика на множестве называется вполне ограниченной, если — вполне ограниченное метрическое пространство.
Семейство метрических пространств таких, что для любого есть натуральное число такое, что каждое пространство допускает -сеть из не более чем точек называется универсально вполне ограниченной. Для таких семейств выполняется аналог теоремы Громова о компактности.
Топологическое пространство, гомеоморфное вполне ограниченному метрическому пространству, называется метризуемым вполне ограниченной метрикой.
Примеры Для стандартной метрики множество рациональных чисел — -сеть для множества вещественных для любого . Множество целых чисел — -сеть для множества вещественных для
Свойства Метрическое пространство имеет эквивалентную вполне ограниченную метрику тогда и только тогда, когда оно сепарабельно. Топологическое пространство метризуемо вполне ограниченной метрикой тогда и только тогда, когда оно регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счётности. Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограниченно. В чуть более общей формулировке, теорема Хаусдорфа о компактности гласит, что для относительной компактности подмножества метрического пространства необходимо, а в случае полноты пространства и достаточно, чтобы при любом существовала конечная -сеть из элементов множества .
Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого в нём существует компактная -сеть.
Примечания
Литература Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
Категория:Метрическая геометрия Категория:Функциональный анализ