Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не возрастают, или, наоборот, не убывают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.
Определения Пусть имеется множество , на котором введено отношение порядка.
Последовательность элементов множества называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним. — неубывающая
Последовательность элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего. — невозрастающая
Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий. — возрастающая
Последовательность элементов множества называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним. — убывающая
Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.
Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.
Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.
Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.
Промежутки монотонности Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров , а лишь для номеров из некоторого диапазона
(здесь допускается обращение правой границы в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке , а сам диапазон называется промежутком монотонности последовательности.
Примеры Последовательность натуральных чисел. . Начальные отрезки: . Возрастающая последовательность. Состоит из натуральных чисел. Ограничена снизу, сверху не ограничена.
Последовательность Фибоначчи.
Начальные отрезки: . Неубывающая последовательность. Состоит из натуральных чисел. Ограничена снизу, сверху не ограничена.
Геометрическая прогрессия с основанием . . Начальные отрезки: . Убывающая последовательность. Состоит из рациональных чисел. Ограничена с обеих сторон.
Последовательность, сходящаяся к числу e. . Начальные отрезки: . Возрастающая последовательность. Состоит из рациональных чисел, но сходится к трансцендентному числу. Ограничена с обеих сторон.
Последовательность рациональных чисел вида не является монотонной. Тем не менее, она (строго) убывает на отрезке и (строго) возрастает на промежутке .
Свойства Ограниченность. Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу. Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху. Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.
Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.(Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях) Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом. Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.
Примечания
См. также Монотонная функция
Категория:Ряды и последовательности