В математике степень простого числа — это простое число, возведённое в целую положительную степень.
Примеры Числа 5 = , 9 = и 16 = являются степенями простых чисел, в то время как 6 = , 15 = и 36 = = не являются.
Двадцать наименьших степеней простых чисел: , …
Свойства
Алгебраические свойства Каждая степень простого числа делится только на одно простое число. Плотность распределения степеней простых чисел асимптотически эквивалентна — плотности простых чисел с точностью до . Любая степень простого числа (за исключением степени 2) имеет первообразный корень. Так, мультипликативная группа целых чисел по модулю pn (или, что эквивалентно, группа единиц кольца Z/pnZ) является циклической. Число элементов конечного поля всегда является степенью простого числа и обратно, любая степень простого является числом элементов некоторого конечного поля (единственного с точностью до изоморфизма).
Комбинаторные свойства Свойство степеней простого числа, часто используемое в аналитической теории чисел, — что множество степеней простых чисел, не являющихся простыми, является в том смысле, что бесконечная сумма обратных им величин сходится, хотя множество простых чисел является большим множеством.
Свойства делимости Функция Эйлера (φ) и сигма функции (σ0) и (σ1) от степени простого числа можно вычислить по формулам:
Все степени простых чисел являются недостаточными числами. Степень простого pn является n-почти простыми. Неизвестно, могут ли степени простых чисел pn быть дружественными числами. Если такие числа существуют, то pn должно быть больше 101500 и n должен быть больше 1400.
Необходимое условие
Пусть число является степенью простого числа . Тогда делится на .
По малой теореме Ферма не делит
где
См. также Точная степень Почти простое число Полупростое число Поле Галуа
Примечания
Литература
Категория:Теория простых чисел