Коммутативность ( — меняющийся; симметричность, переместительный закон) — свойство бинарной операции «», заключающееся в возможности перестановки аргументов: для любых элементов и .
В частности, если групповая операция является коммутативной, то группа называется абелевой. Если операция умножения в кольце является коммутативной, то кольцо называется коммутативным. Термин «коммутативность» ввёл в 1815 году французский математик Франсуа Жозеф Сервуа.
Сумма и произведение действительных чисел коммутативны: и . Коммутативны конъюнкция и дизъюнкция: и , а также объединение, пересечение и симметрическая разность множеств: , , . Многие бинарные операции ассоциативны, но в общем случае некоммутативны, таковы, например, умножение матриц: , но и конкатенация строк: "a" || "b" = "ab", но "b" || "a" = "ba".
При этом не всякая коммутативная операция ассоциативна (существуют с неассоциативной операцией).
Существует ряд обобщений понятия коммутативности на операции более двух аргументов (различные варианты симметричности), например, тернарная операция считается (тернарно) коммутативной, если её результат не зависит от произвольной перестановки операндов (как медиана в теории дистрибутивных решёток), но существуют ограниченные варианты симметричности, когда перестановка возможна в ограниченных случаях (, но при этом ).
Коммутативные операции формируют обширный пласт алгебраических структур, обладающих многими удобными свойствами, не присущими некоммутативным структурам (например, коммутативные группы в сравнении неабелевыми), во многих разделах математики применяется техника сведения задач к коммутативным структурам как к более изученным и обладающим более удобными свойствами. Коммутативная алгебра — общеалгебраическое направление, изучающее свойства коммутативных колец и связанных с ними коммутативных объектов (модулей, идеалов, дивизоров, полей).
Ссылки
Категория:Арифметика Категория:Бинарные операции Категория:Свойства операций