Катастрофа голубого неба — особый тип бифуркации коразмерности 1 в теории динамических систем, при котором длина гиперболической периодической траектории при стремлении значения параметра к критическому неограниченно нарастает, и тем самым семейство таких траекторий не продолжается на предельное значение параметра. Название бифуркации появилось из словесного описания поведения траектории при бифуркации — всё удлиняясь, она в итоге «растворяется в голубом небе»Д. В. Аносов, «О развитии теории динамических систем ».
История
Пример динамической системы, зависящей от параметра, в которой при стремлении параметра к критическому длина некоторой периодической траектории стремится к бесконечности, был описан в 1967 году ФуллеромFuller, F., An index of fixed point type for periodic orbits. Amer. J. Math. 89 (1967) 133—148.. Однако, такой пример был описан в другом контексте, пройдя вне внимания специалистовВ. С. Медведев, «О бифуркации „Катастрофа голубого неба“ на двумерных многообразиях», Матем. заметки, 51:1 (1992), 118—125. С. 118., и в 1974 году Палис и Пью поставили вопросJ. Palis, C. Pugh, in: Fifty problems in dynamical systems, Dynamical systems — Warwick, 1974, Springer Lecture Notes 468, 1975. о существовании и типичности таких бифуркаций.
В работе 1980 года В. С. Медведев разбираетВ. С. Медведев, «О новом типе бифуркаций на многообразиях», Матем. сб., 113(155):3(11) (1980), 487—492. пример конкретной динамической системы, в которой происходит бифуркация голубого неба, отмечая, что как до, так и после бифуркации система оказывается грубой (т. е. структурно устойчивой). Наконец, в 1995 году, Д. Тураев и Л. Шильников предъявляют пример типичного однопараметрического семейства векторных полей в размерности 3, в котором происходит такая бифуркация. Такой пример показывает, что эта бифуркация имеет коразмерность 1, — иными словами, что она происходит при пересечении некоторой гиперповерхности в пространстве всех динамических систем.
Пример
Примечания
Ссылки Andrey Shilnikov, Dmitry Turaev (2007) Blue-sky catastrophe. Scholarpedia, 2(8):1889.
Д. В. Тураев, Л. П. Шильников, «О катастрофах голубого неба», Докл. АН СССР, 342:5 (1995), 596—599. Д. В. Аносов, «О развитии теории динамических систем». В. С. Медведев, «О бифуркации „Катастрофа голубого неба“ на двумерных многообразиях», Матем. заметки, 51:1 (1992), 118—125. В. С. Медведев, «О новом типе бифуркаций на многообразиях», Матем. сб., 113(155):3(11) (1980), 487—492. J. Palis, C. Pugh, in: Fifty problems in dynamical systems, Dynamical systems — Warwick, 1974, Springer Lecture Notes 468, 1975. Fuller, F. Brock, An index of fixed point type for periodic orbits. Amer. J. Math. 89 (1967) 133—148.
Категория:Динамические системы