EMD () — метод разложения сигналов на функции, которые получили название «эмпирические моды».
Метод EMD представляет собой итерационную вычислительную процедуру, в результате которой исходные данные (непрерывный или дискретный сигнал) раскладываются на эмпирические моды или внутренние колебания (, IMF). В отличие от гармонического анализа, где модель сигнала (дискретного или непрерывного) задаётся заранее, эмпирические моды вычисляются в ходе процесса, что и подчёркивается в названии метода. Разложение на эмпирические моды позволяет анализировать локальные явления, поэтому данный метод может быть использован при обработке нестационарных временных рядов (или процессов).
Метод EMD является неотъемлемой частью преобразования Гильберта — Хуанга.
Определения
Огибающая сигнала Огибающая сигнала — это функция, построенная по характерным точкам данного сигнала, например, по экстремумам.
У каждого (дискретного или непрерывного) сигнала имеются локальные экстремумы: локальные максимумы и локальные минимумы. В результате, можно построить две огибающие: нижнюю огибающую, построенную по точкам локальных минимумов, и верхнюю, построенную по точкам локальных максимумов.
В методе EMD в качестве приближающих функций используются кубические сплайны.
Среднее значение В методе EMD используется так называемое «среднее значение» — функция, которой отвечает срединная линия, расположенная в точности между огибающими: нижней и верхней.
Эмпирическая мода Эмпирическая мода, внутреннее колебание или мода (, IMF) — это такая функция, которая обладает следующими двумя свойствами: Количество экстремумов (и максимумов и минимумов) и количество нулей не должно отличаться более чем на единицу. Среднее значение, которое определяется по двум огибающим — верхней и нижней, — должно быть равно нулю.
Эмпирические моды обладают такими свойствами, которые позволяют применять к ним методы гильбертова спектрального анализа.
Просеивание Процедура выделения эмпирических мод называется просеиванием ().
Алгоритм метода Пусть — анализируемый сигнал.
Суть метода EMD заключается в последовательном вычислении эмпирических мод и остатков , где и .
В результате получается разложение сигнала вида
где — количество эмпирических мод, которое устанавливается в ходе вычислений.
Схема алгоритма В общем виде алгоритм метода выглядит следующим образом.
Находятся экстремумы сигнала. Их следует искать между каждыми двумя последовательными переменами знака.
Строятся две огибающие сигнала: нижняя и верхняя . При этом можно использовать сплайн (например, кубический).
Вычисляются среднее значение и разность между сигналом и его средним значением: .
Если полученная разность удовлетворяет определению эмпирической моды, то процесс останавливается. В этом случае полученная разность и будет эмпирической модой.
В противном случае, необходимо повторить предыдущие операции уже для полученной разности (поиск экстремумов, построение огибающих, вычисление среднего и его вычитание): . В результате выполнения последовательности итераций вида
необходимо получить функцию
которая удовлетворяет определению эмпирической моды. Как только эмпирическая мода, обозначаемая , выделена, итерации прекращаются.
Вычисляется остаток , и весь алгоритм повторяется снова, но уже для функции .
Получение остатков происходит до тех пор, пока вновь вычисленный остаток не окажется монотонной функцией, из которой уже нельзя выделить эмпирическую моду.
Условия остановки При просеивании последовательно вычисляются функции , поэтому необходимо иметь критерий останова итерационного процесса. Для этого обычно используется одно из двух условий.
Первое условие было предложено самим Хуангом и по форме напоминает критерий Коши (сходимости последовательности), а именно: определим для каждого целого числа величину
Итерации прекращаются как только число станет меньше, чем некоторая заданная заранее величина.
Второе условие основано на соотношении количества пересечения нуля и количества экстремумов : процесс просеивания обрывается, если или имеет место на протяжении итераций. Число выбирается заранее.
См. также Преобразование Гильберта — Хуанга Программирование EMD на C++: Класс HHT
Литература
Категория:Обработка сигналов