Уравнение Каратеодо́ри (названо в честь немецкого математика греческого происхождения Константина Каратеодори) — обыкновенное дифференциальное уравнение
в котором правая часть (то есть компоненты вектор-функции ) удовлетворяет не классическому условию, обеспечивающему существование и единственность решения с заданным начальным значением (непрерывность по совокупности аргументов и условие Липшица по ), а некоторому существенно более слабому условию, называемому условием Каратеодори: вектор-функция определена и непрерывна по для почти всех (в смысле меры Лебега) в области пространства . вектор-функция измерима по для каждого в области . для каждого ограниченного интервала оси в области выполняется неравенство где — суммируемая (то есть интегрируемая по Лебегу) функция.
Решением уравнения Каратеодори (*) с начальным условием называется измеримая вектор-функция удовлетворяющая интегральному уравнению
Интеграл в (**) понимается в смысле интеграла Лебега для каждой компоненты вектор-функции . Корректность определения основана на том, что композиция измеримой функции и удовлетворяющей условию Каратеодори функции является суммируемой функцией от переменной
Уравнения Каратеодори находят применения в различных областях математики. Кроме того, они обладают многими свойствами, присущими классическим уравнениям с непрерывной правой частью.
Теорема существования и единственности Предположим, что условие Каратеодори выполнено в области , тогда существует такое что уравнение (*) с начальным условием имеет решение на отрезке В качестве можно взять любое число, удовлетворяющее условиям
Если существует такая суммируемая функция что выполняется неравенство
или неравенство
где в случае точка означает скалярное произведение, то уравнение (*) с начальным условием в области имеет не более одного решения.
Литература Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — Москва: Наука, 1985.
Ссылки Ахмеров Р. Р. Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Категория:Дифференциальные уравнения Категория:Функциональный анализ Каратеодори