Поворот Гивенса — линейный оператор поворота вектора на некоторый заданный угол.
Матрица Гивенса имеет следующий вид:
Данная матрица отличается от единичной матрицы только подматрицей:
расположенной на строках и столбцах с номерами и . Является ортогональной.
Если дан вектор , , то выбрав:
можно обнулить -ю компоненту вектора :
С помощью поворотов Гивенса можно вычислять QR-разложение матриц и приводить эрмитовы матрицы к диагональной форме, а матрицы общего вида к трёхдиагональной, треугольной или хессенберговской форме.
При повороте Гивенса для матрицы () в плоскости сохраняется сумма квадратов внедиагональных элементов за исключением элементов
Это свойство используется в методе диагонализации Якоби.
Трёхдиагонализация Последовательно вращая () плоскости , , … , (при этом зануляя элементы ), затем последовательно вращая плоскости , , … , (при этом зануляя элементы ) и так далее, можно привести эрмитову (симметричную) матрицу к трёхдиагональной форме, а произвольную матрицу к хессенберговой форме.
Также того же самого можно добиться при помощи преобразований Хаусхолдера.
QR-разложение Последовательно вращая () столбцы матрицы в плоскостях , , … , (при этом зануляя элементы ), затем в плоскостях , , … , (при этом зануляя элементы ) и так далее, можно привести матрицу к верхнетреугольному виду.
Также того же самого можно добиться при помощи преобразований Хаусхолдера или метода ортогонализации Грама — Шмидта.
Сложность QR-разложения хессенберговой матрицы (при этом снова будет хессенберговой), в то время как сложность QR-разложения произвольной матрицы .
Примечания
Литература
</ref>
Категория:Численные методы линейной алгебры