Сере́бряное сече́ние — математическая константа, выражающая определённое геометрическое соотношение, равное , выделяемое в геометрии и эстетически.
Величины a и b находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы b + 2a к a равняется отношению a к b: , где a — большее число, b — меньшее число.
В записях и вычислениях серебряное сечение обычно обозначается как (от древнегр. τομή ‘сечение’)岩本誠一・江口将生・吉良知文 黄金・白銀・青銅 : 数と比と形と率と // Seiichi Iwamoto, Masao Eguchi, Akifumi Kira — Golden, Silver, Bronze and so on : their Number, Ratio, Rectangle and RateТакже иногда может обозначаться как: , , , , ..
В последнее время некоторые художники и архитекторы считают это отношение «красивым». Возможно, они опираются на теорию . Математики исследовали серебряное соотношение со времён древнегреческой науки (хотя такое название, возможно, появилось только недавно), так как оно связано с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратными треугольными числами, числами Пелля, восьмиугольником и др.
Формулы Обозначим далее серебряное сечение через . Соотношение, описанное в определении выше, записывается алгебраически так:
Это уравнение имеет единственный положительный корень.
. Это следует из
— в виде цепной дроби:
подходящие дроби этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, …) являются отношениями последовательных чисел Пелля. Эти дроби дают хорошие рациональные аппроксимации серебряного сечения, аналогично тому, что золотое сечение приближается отношениями последовательных чисел Фибоначчи.
В виде бесконечных вложенных радикалов:
. .
Связанные понятия Отталкиваясь от определения золотого сечения через цепную дробь, серебряными называют любые цепные дроби, в которых знаменатели постоянны: .
Тригонометрические свойства Серебряное сечение связано с углом :
Таким образом, серебряное сечение соответствует величине — котангенсу угла, который образуется в правильном восьмиугольнике из его стороны, и прямой до ближайшей соседней вершины из наиболее отдалённой вершины этой стороны (одной из двух вершин, лежащих на стороне). То есть угол, получающийся при проведении прямой «через одну» вершину; например, при связывании чётных вершин, или при связывании нечётных вершин.
Кроме того, в правильном восьмиугольнике серебряное сечение используется также в формулах нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей и в вычислении площади фигуры; а также в других ситуациях. Поэтому серебряное сечение описывает геометрические свойства правильного восьмиугольника и в определённом смысле является его «сердцем».
См. также Числа Пелля Пластическое число Золотое сечение Красота математики
Примечания
Литература Аракелян Г. Б. Числа и величины в современной физике. Ереван: Изд. АН, 1989, 300 с. — С. 90—95, 252.
Ссылки Explanation of Silver Means
Вера де Шпинадель (1999) The Family of Metallic Means, Vismath 1(3) from Mathematical Institute of Serbian Academy of Sciences and Arts
Категория:Математические константы Категория:Алгебраические числа Категория:Безразмерные параметры Категория:Непрерывная дробь