«Слабая производная» (в математике) — обобщение понятия производной функции («сильная производная») для функций, интегрируемых по Лебегу (то есть из пространства ), но не являющихся дифференцируемыми.

Определение

Пусть  — функция из . Функцию из называют «слабой производной» , если

для всех непрерывно дифференцируемых функций при . Это определение основано на методе интегрирования по частям.

Обобщая на измерений, если и принадлежат пространству локально интегрируемых функций для некоторой области , и если  — это мультииндекс, то называется слабой производной порядка , если

для всех  — финитных в бесконечно гладких функций.

Если у функции есть слабая производная, то её часто обозначают через , так как она единственна с точностью до множества меры нуль.

Примеры

Функция u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, которая не имеет производной в точке t = 0, тем не менее имеет на промежутке [−1, 1] слабую производную v, так называемую «функцию знака» (sgn), определяемую следующим соотношением:

Это не единственная производная u: всякая функция w совпадающая с v почти всюду также будет слабой производной u. Обычно это не является проблемой, так как с точки зрения и пространств Lp, и пространств Соболева они эквивалентны.

Характеристическая функция множества рациональных чисел D (Функция Дирихле) нигде не дифференцируема, но слабую производную имеет всюду. Так как мера Лебега рациональных чисел равна нулю, то

Таким образом, есть слабая производная функции D. Это должно быть интуитивно понятно, ведь D в пространстве Lp эквивалентна тождественному нулю.

Свойства

Если две функции являются слабыми производными одной и той же функции, то они совпадают на множестве полной меры (почти всюду). Если, как принято в пространствах , полагать почти всюду равные функции эквивалентными, то слабая производная определена единственным образом.

Если u имеет обычную («сильную») производную, тогда она будет являться слабой производной. В этом смысле, слабая производная является обобщением сильной. Более того, классические правила для производных от суммы и от произведения функций сохраняются и для слабых производных.

Развитие

Понятие слабой производной заложило основу для построения т. н. слабых решений в пространстве Соболева, которые оказались полезными в теории дифференциальных уравнений и в Функциональном анализе.

Литература

Категория:Функциональный анализ Категория:Обобщённые производные