Система Риса — такая система векторов в гильбертовом пространстве с заданными постоянными и , что для любой последовательности комплексных чисел ряд сходится по норме в , причём выполнено: .
Базис Риса — такая система Риса, которая является базисом в (базисом Шаудера).
Базис Риса является обобщением понятия ортонормированного базиса, а двойное неравенство, данное в определении — обобщение неравенства Бесселя. Другое название базисов Риса — базисы, эквивалентные ортонормированным.
Система векторов является базисом Риса тогда и только тогда, когда она может быть получена из ортонормированного базиса с помощью ограниченного обратимого преобразования.
Любая система Риса является базисом Риса в пространстве: , при этом для любого элемента выполняется неравенство: .
Любой базис Риса является безусловным базисом, то есть остаётся базисом после любой перестановки элементов.
Литература Гохберг И. Ц., Крейн М. Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, M.: Наука, 1965. — 448 c. Бари Н. К., Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве, Учен. зап. МГУ 148, Математика 4, 69—107. Авдонин С. А., К вопросу о базисах Рисса из показательных функций в , Исследования по линейным операторам и теории функций. IV, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 39, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1974, 176—177 Орынбасаров Е. М., Садыбеков М. А., Базисность системы собственных и присоединенных функций краевой задачи со смещением для волнового уравнения, Матем. заметки, 51:5 (1992), 86-89.
Категория:Функциональный анализ