-разложение матрицы — представление матрицы в виде произведения унитарной (или ортогональной матрицы) и верхнетреугольной матрицы. QR-разложение является основой одного из методов поиска собственных векторов и чисел матрицы — QR-алгоритма.
Определение Матрица размера , где , с комплексными элементами может быть представлена в виде
где — матрица размера с ортонормированными столбцами, а — верхнетреугольная матрица размера . При матрица унитарная. Если при этом невырождена, то -разложение единственно и матрица может быть выбрана так, чтобы её диагональные элементы были положительными вещественными числами. В частном случае, когда матрица состоит из вещественных чисел, матрицы и также могут быть выбраны вещественными, причём является ортогональной.
По аналогии, если — матрица размера , где , то она может быть разложена как
где матрица порядка — нижнетреугольная, а матрица размера имеет ортонормированные строки.
Алгоритмы -разложение может быть получено различными методами. Проще всего оно может быть вычислено, как побочный продукт в процессе Грама — Шмидта. На практике следует использовать модифицированный алгоритм Грама ― Шмидта, поскольку классический алгоритм обладает плохой численной устойчивостью.
Альтернативные алгоритмы для вычисления -разложения основаны на отражениях Хаусхолдера и вращениях Гивенса.
Пример QR-разложения Рассмотрим матрицу:
Через обозначим векторы-столбцы заданной матрицы Получаем следующий набор векторов:
Далее, применяем алгоритм ортогонализации Грама — Шмидта и нормируем полученные вектора, получаем следующий набор:
Из полученных векторов составляем по столбцам матрицу Q из разложения:
Полученная матрица является ортогональной, это означает, что
Найдем матрицу из выражения :
— искомая верхнетреугольная матрица.
Получили разложение .
Примечания
Литература
Категория:Разложения матриц Категория:Численные методы линейной алгебры