Тензорное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор.
Определение Формально тензорное поле можно определить несколькими способами.
Определение через понятие структуры на многообразии Используя основное понятие дифференциальной геометрии — структура на многообразии, — можно дать следующее определение:
Пусть , и — пространство тензоров типа с естественным тензорным представлением группы , тогда структура типа является линейной структурой первого порядка и называется тензорным полем (или тензорной структурой) типа .
Определение через понятие тензорного расслоения При определении тензорного поля можно отталкиваться от понятия тензорного расслоения.
Тензорное поле — это сечение тензорного расслоения на дифференцируемом многообразии , изоморфного в общем случае тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений
Нестрогое определение Менее формально тензорное поле можно рассматривать как отображение, которое каждой точке рассматриваемого многообразия ставит в соответствие тензор постоянной валентности.
Область применения Понятие тензорного поля естественным образом возникает в механике и физике сплошных сред при описании анизотропных сред. Понятие тензорного поля находит применение во всех прикладных науках, где такие среды рассматриваются и изучаются. Оно входит в математический аппарат общей и специальной теории относительности.
Расширенное тензорное поле Понятие расширенного тензорного поля возникает в результате расширения понятия тензорного поля в изложенном выше смысле.
Нестрогое определение Проще всего понимать такое расширение исходя из нестрогого определения, согласно которому тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке многообразия некоторый тензор фиксированной валентности , отнесенный к этой точке . Пусть теперь — некоторое другое многообразие, являющееся линейным расслоением над , и пусть — каноническая проекция для такого расслоения. Тогда расширенное тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке многообразия некоторый тензор фиксированной валентности на , отнесенный к точке .
Литература
Категория:Тензорное исчисление Категория:Дифференциальная геометрия и топология