Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.
Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.
Уравнения Навье — Стокса
Для трёхмерного вектора скорости жидкости и давления уравнения Навье — Стокса записываются так: , где — это кинематическая вязкость, — плотность, — внешняя сила, — оператор набла и — оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как или . Это векторное уравнение, которое в трёхмерном случае может быть представлено как три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы как:
то для каждого значения получается соответствующее скалярное уравнение:
Неизвестными величинами являются скорость и давление . Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы — уравнение неразрывности, которое в случае несжимаемой среды преобразуется в условие несжимаемости жидкости:
Начальные условия к уравнениям Навье — Стокса задаются в виде: , где — заданная гладкая вектор-функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности .
Варианты постановки задачи Институт Клэя сформулировал два основных варианта постановки задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса. В первом варианте уравнения рассматриваются во всём трёхмерном пространстве с некоторыми ограничениями на скорость роста решения на бесконечности. Во втором варианте уравнения рассматриваются на трёхмерном торе с периодическими граничными условиями. Для получения премии достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов.
В трёхмерном пространстве Пусть начальная скорость — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности и такая, что для любого мультииндекса и любого существует постоянная (зависящая только от и ) такая, что
для всех
Пусть внешняя сила — также гладкая функция, удовлетворяющая аналогичному неравенству (здесь мультииндекс включает также производные по времени):
для всех
Решения должны быть гладкими функциями, которые не возрастают неограниченно при . Требуется выполнение следующих условий:
Существует постоянная такая, что для всех .
Первое условие означает, что функции глобально определены и являются гладкими; второе — что кинетическая энергия глобально ограничена.
Требуется доказать одно из двух утверждений: существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса в : для и любого начального условия , удовлетворяющего вышеописанным условиям, существует глобальное гладкое решение уравнений Навье — Стокса, то есть вектор скорости и поле давления , удовлетворяющее условиям 1 и 2; несуществование или негладкость решений уравнений Навье — Стокса в : существуют начальное условие и внешняя сила такие, что не существует решений и , удовлетворяющих условиям 1 и 2.
Решение 2026 года 8 сентября 2026 года профессор Нью-йоркского университета заявил, что им совместно с сотрудником Anthropic был найден контрпример к существованию и гладкости решений других уравнений в частных производных, родственных уравнениям Навье — Стокса, с использованием больших языковых моделей. На следующий день корпорация OpenAI объявила о нахождении контрпримера к гипотезе о существовании и гладкости решений собственно уравнений Навье — Стокса с помощью, как утверждалось, собственной внутренней модели, и опубликовала решение и его формализацию на языке Lean. После этого Бакмастер сообщил, что подозревает OpenAI в использовании их совместной с Алпёге работы — контекста, наработанного в системе OpenAI Codex, и что ранее представители OpenAI настоятельно предлагали ему опубликовать результат со ссылкой на использование систем OpenAI, исключив Алпёге — сотрудника компании-конкурента — из числа соавторов. По состоянию на сентябрь 2026 Математический институт Клэя пометил статус вопроса о том, решена ли задача, как «активный».
Примечания
Литература
Ссылки Официальное описание задачи, данное Чарльзом Фефферманом Проблемы 2000 года: уравнения Навье-Стокса // Компьютерра, 5 октября 2005 года. Состояние проблемы в личном блоге Теренса Тао (2022)
Категория:Гидродинамика Категория:Задачи тысячелетия Категория:Открытые математические проблемы Категория:Физические гипотезы Категория:Гипотезы классической физики