Центра́льное многообра́зие особой точки автономного обыкновенного дифференциального уравнения — инвариантное многообразие в фазовом пространстве, проходящее через особую точку и касающееся инвариантного центрального подпространства линеаризации дифференциального уравнения., c. 13 Важный объект изучения теории дифференциальных уравнений и динамических систем. В некотором смысле, вся нетривиальная динамика системы в окрестности особой точки сосредоточена на центральном многообразии., глава 1, п. 2.3

Формальное определение Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение с особой точкой 0:

где , — линейный оператор, — гладкая функция класса , причем и . Иными словами, — линеаризация векторного поля в особой точке 0.

подпространство название спектр A устойчивое (stable) неустойчивое (unstable) центральное (center)

Согласно классическим результатам линейной алгебры, линейное пространство раскладывается в прямую сумму трех -инвариантных подпространств , где определяются знаком вещественной части соответствующих собственных значений (см. табл.)

Эти подпространства являются инвариантными многообразиями линеаризованной системы , решением которой является матричная экспонента . Оказывается, динамика системы в окрестности особой точки по своим свойствам близка к динамике линеаризованной системы. Точнее, справедливо следующее утверждение:, глава 1, пункт 2.2

Предположим, что правая часть дифференциального уравнения (*) принадлежит классу , . Тогда в окрестности особой точки существуют многообразия и классов и соответственно, инвариантные относительно фазового потока дифференциального уравнения. Они касаются в начале координат подпространств и и называются устойчивым, неустойчивым и центральным многообразиями соответственно.

В случае, когда правая часть уравнения (*) принадлежит классу , многообразия и также принадлежат классу , но центральное многообразие , вообще говоря, может быть лишь конечно-гладким. При этом для любого сколь угодно большого числа многообразие принадлежит классу в некоторой окрестности , стягивающейся к особой точке при , так что пересечение всех окрестностей состоит лишь из самой особой точкиГукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей, — Москва-Ижевск: ИКИ, 2002. — Глава 3, пар. 3.2..

Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия называются также гиперболическими, они определяются единственным образом; в то же время, локальное центральное многообразие определяется не единственным образом. Очевидно, что если система (*) линейна, то инвариантные многообразия совпадают с соответствующими инвариантными подпространствами оператора .

Пример: седлоузел

Невырожденные особые точки на плоскости не имеют центрального многообразия. Рассмотрим простейший пример вырожденной особой точки: начало координат векторного поля

Эта особая точка называется седлоузлом. Седлоузел имеет неустойчивое многообразие, оно совпадает с осью и состоит из двух вертикальных сепаратрис и и самой особой точки (начала координат). Остальные фазовые кривые этого поля задаются уравнением

.

Нетрудно видеть, что в левой полуплоскости единственная фазовая кривая, стремящаяся к особой точке, совпадает с лучом . В то же время, в правой полуплоскости существует бесконечно много (континуум) фазовых кривых, стремящихся к нулю — это графики функции для любого и любого . В силу того, что функция является бесконечно плоской в нуле, то есть все её производные всевозможных порядков, включая нулевой, в точке равны нулю, мы можем составить бесконечно гладкое инвариантное многообразие из луча , точки и любой траектории в правой полуплоскости. Любое из них локально будет центральным многообразием нашего поля в начале координат.

Глобальные центральные многообразия Если рассматривать уравнение (*) не в некоторой окрестности особой точки 0, а во всем фазовом пространстве , можно дать определение глобального центрального многообразия. Неформально говоря, его можно определить как инвариантное многообразие, траектории на котором не стремятся к бесконечности (в прямом либо обратном времени) вдоль гиперболических направлений. В частности, глобальное центральное многообразие содержит все ограниченные траектории (а значит, и все предельные циклы, особые точки, сепаратрисные связки и т.д.)

Рассмотрим проекции пространства на соответствующие инвариантные подпространства оператора . Определим также подпространство и проекцию на него. Центральным многообразием называется множество таких точек фазового пространства, что проекция траекторий, стартующих из , на гиперболическое подпространство, ограничена. Иными словами

,

где — такое решение уравнения (*), что .

Для существования глобального центрального многообразия на функцию необходимо наложить дополнительные условия: ограниченность и липшицевость с достаточно малой константой Липшица. В этом случае глобальное центральное многообразие существует, само является липшицевым подмногообразием в и определено единственным образом. Если потребовать от гладкости порядка и малости производной, то глобальное центральное многообразие будет иметь гладкость порядка и касаться центрального инвариантного подпространства в особой точке 0. Из этого следует, что если рассматривать ограничение глобального центрального многообразия на малую окрестность особой точки, то оно будет локальным центральным многообразием — это один из способов доказательства его существования. Даже если система (*) не удовлетворяет условиям существования глобального центрального многообразия, её можно модифицировать вне какой-то окрестности нуля (домножив на подходящую гладкую срезающую функцию типа «шапочка»), так, чтобы эти условия стали выполняться, и рассмотреть ограничение имеющегося у модифицированной системы глобального центрального многообразия. Оказывается, можно сформулировать и обратное утверждение: можно глобализовать локально заданную систему и продолжить локальное центральное многообразие до глобального. Точнее, это утверждение формулируется следующим образом: Пусть , , , и — локальное центральное многообразие (*). Найдется такая малая окрестность нуля и такая ограниченная на всем пространстве функция , совпадающая с в , что уравнение (*) для функции имеет гладкое глобальное центральное многообразие, совпадающее в области с

Следует отметить, что переход от локальных задач к глобальным и наоборот часто используется при доказательстве утверждений, связанных с центральными многообразиями.

Принцип сведения Как было сказано выше, нетривиальная динамика вблизи особой точки «сосредоточена» на центральном многообразии. Если особая точка гиперболическая (то есть линеаризация не содержит собственных значений с нулевой вещественной частью), то центрального многообразия у неё нет. В этом случае, согласно теореме Гробмана-Хартмана, векторное поле орбитально-топологически эквивалентно своей линеаризации, то есть с топологической точки зрения динамика нелинейной системы полностью определяется линеаризацией. В случае негиперболической особой точки топология фазового потока определяется линейной частью и ограничением потока на центральное многообразие. Это утверждение, называемое принципом сведения Шошитайшвили, формулируется следующим образом:, см. также

Предположим, что правая часть векторного поля (*) принадлежит классу . Тогда в окрестности негиперболической особой точки оно орбитально-топологически эквивалентно произведению стандартного седла и ограничению поля на центральное многообразие:

Примечания

Литература

Категория:Дифференциальные уравнения Категория:Динамические системы