Теорема Крылова — Боголюбова утверждает существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Существуют две вариации теоремы, для динамических систем и для марковских процессов.
Теорема доказана математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком, математиком Н. Н. Боголюбовым.Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М. (1937): «Общая теория меры в нелинейной механике». — Киев. Zbl. 16.86. (переиздано в«Николай Николаевич Боголюбов. Собрание научных трудов в 12 томах. РАН. Том 1: Математика». — М.: Наука, 2005. ISBN 5-02-034463-X.).
Динамическая формулировка Пусть — непрерывное отображение метрического компакта в себя. Тогда на существует хотя бы одна -инвариантная мера , которая может быть выбрана таким образом, что она будет неразложимой, или эргодической.
Замечания Условие -инвариантности, , означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества,
при этом в случае необратимого отображения мера не обязана равняться мере . Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности , однако мера дуги не равна мере её образа, дуги .
Доказательство Доказательство теоремы опирается на так называемую процедуру Крылова — Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.
А именно, берётся произвольная начальная мера , и рассматривается последовательность её временных средних:
Временные средние являются всё более и более -инвариантными:
Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения . Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности найдётся — что и завершает доказательство.
Замечания В случае, если в качестве меры берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности соответствует существованию меры Синая — Рюэлля — Боуэна.
Формулировка для марковских процессов Пусть X — польское пространство и пусть (Pt) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X, то есть
Если существует , для которого семейство вероятностных мер { Pt(x, ·) | t > 0 } uniformly tight и полугруппа (Pt) удовлетворяет Feller property, то существует по крайней мере одна инвариантная мера для (Pt), то есть такая вероятностная мера μ на X, что
Вариации и обобщения Точно такие же рассуждения, только связанные с усреднением по последовательности Фёльнера, позволяют доказать, что для любого непрерывного действия аменабельной группы на метрическом компакте найдётся инвариантная относительно этого действия мера.
Ссылки
Литература
Крылова — Боголюбова Категория:Эргодическая теория