Теоре́ма Ги́льберта о ба́зисе — одна из основных теорем о нётеровых кольцах: Если  — нётерово кольцо, то кольцо многочленов также нётерово.

Доказательство Пусть  — идеал в (мы здесь будем считать коммутативным, для некоммутативных колец всё доказательство сохраняется, необходимо только считать все идеалы левыми), а  — множество старших коэффициентов многочленов, принадлежащих этому идеалу. Докажем, что  — идеал.

В самом деле, если и  — элементы , то и являются старшими коэффициентами некоторых многочленов из  — и Если, например, , то является старшим коэффициентом многочлена , принадлежащего . Если является старшим коэффициентом то является старшим коэффициентом из идеала для любого элемента кольца . Таким образом  — идеал, а так как  — нётерово кольцо, то конечно порождается некоторыми элементами , являющимися соответственно старшими коэффициентами многочленов из . Пусть наибольшая степень этих многочленов равна . Можно считать что степень каждого из этих многочленов равна (если она равна , то можно сделать её такой, домножая на ).

Аналогично доказывается что  — множество старших коэффициентов многочленов из , степень которых равна , объединённое с нулём кольца — является идеалом, и, в силу нётеровости, конечно порождается элементами . Пусть они являются старшими коэффициентами многочленов степени из идеала .

Докажем, что многочлены порождают идеал . Пусть  — какой-нибудь многочлен идеала , тогда принадлежит . Если его степень , то так как по доказанному является линейной комбинацией старших членов многочленов степени , то мы получим, что будет многочленом степени, меньшей, чем и также принадлежащим идеалу . Повторяя при необходимости эту операцию несколько раз можно прийти к многочлену степени .

Для многочлена степени применяется та же процедура, но с использованием многочленов старшие коэффициенты которых порождают идеал . Далее процедура повторяется, пока мы не придем к нулевому многочлену.

Следствия Последовательно применяя теорему, можно доказать, что кольцо многочленов от переменных нётерово.

Кольцо , конечно порожденное над нётеровым кольцом , также нётерово (как факторкольцо кольца многочленов ).

Литература Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М.: Наука, 1976 Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра — М.: ИЛ, 1963 Ленг С. Алгебра — М.: Мир, 1968

См. также Давид Гильберт Нётерово кольцо

Гильберта о базисе Категория:Теория колец