Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади).
Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла, то есть как часть плоскости, ограниченную тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.
Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В -мерной геометрии аналогом треугольника является -й мерный симплекс.
Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденным.
Основные элементы треугольника
Вершины, стороны, углы Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами и обозначается как Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин: , , .
Треугольник имеет следующие углы: угол — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне ; угол — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне ; угол — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне . Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами ( ).
Внешним углом плоского треугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от до
Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.
Классификация треугольников
По виду наибольшего угла
Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньше ). Выделяют следующие виды треугольников. Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов треугольника прямой (равен ), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов треугольника тупой (больше ), то треугольник называется тупоугольным, Остальные два угла, очевидно, острые (треугольников с двумя тупыми или прямыми углами быть не может).
По числу равных сторон (или по степени симметричности)
Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны не равны. Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основаниемОснованием равнобедренного треугольника всегда называют сторону, не равную двум другим.. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике равны две медианы, две высоты, две биссектрисы. Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. +ТреугольникКоличество осей симметрииКоличество пар равных сторонРазностороннийНетНетРавнобедренный11Равносторонний33
Медианы, высоты, биссектрисы
Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником. Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник. Длину медианы опущенной на сторону можно найти по формулам: для других медиан аналогично.
Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.
Длину высоты опущенной на сторону можно найти по формулам:
; для других высот аналогично.
Длины высот, опущенных на стороны. можно также найти по формуламAltshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.:
Биссектрисой (биссе́ктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).
Если треугольник разносторонний (не равнобедренный), то биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины. Ещё одно важное свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим к ней сторонам.
Длину биссектрисы опущенной на сторону можно найти по одной из формул:
, где — полупериметр. . ; здесь — высота.
Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.
Описанная и вписанная окружности
Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда одна, её центр находится в точке пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины сторон. В тупоугольном треугольнике этот центр лежит вне треугольника.
Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром, он совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.
Следующие формулы позволяют вычислить радиусы описанной и вписанной окружностей:
где — площадь треугольника, — его полупериметр;
где — радиусы соответственных вневписанных окружностей
Ещё два полезных соотношения:
Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.;
Существует также формула КарноЗетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.:
где — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон треугольника, — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин треугольника.
Расстояние от центра описанной окружности например до стороны треугольника равно:
расстояние от ортоцентра например до вершины треугольника равно:
Признаки равенства треугольников
Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементовГеометрия по Киселёву , § 41.:
(равенство по двум сторонам и углу между ними); (равенство по стороне и двум прилежащим углам); (равенство по трём сторонам).
Признаки равенства прямоугольных треугольников: по катету и гипотенузе; по двум катетам; по катету и острому углу; по гипотенузе и острому углу. Дополнительные признаки: треугольники равны, если у них совпадают две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон, треугольники равны, если у них равны две стороны и угол не между ними, если этот угол прямой или тупой.
Если в треугольниках и имеют место равенства причём указанные углы НЕ являются острыми, то эти треугольники равны.
В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского треугольники равны если равны их три угла.
Признаки подобия треугольников Средняя линия треугольника, которая соединяет его боковые стороны, равна половине основания и параллельна ему.
Два треугольника подобны:
- если они имеют по равному углу и отношения заключающих его сторон равны;
- если их соответственные углы равны (достаточно равенства двух пар углов);
- если их соответственные стороны пропорциональны.
Основные свойства элементов треугольника
Свойства углов Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы.
Каждый внешний угол треугольника равен разности между 180° и соответствующим внутренним углом. Для внешнего угла также имеет место теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных.
Неравенство треугольника В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами:
Дополнительное свойство: каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.
Теорема о сумме углов треугольника
Сумма внутренних углов треугольника всегда равна развернутому углу или 180°:
В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше.
Теорема синусов
где — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
Теорема косинусов
Эта теорема является обобщением теоремы Пифагора.
Замечание. теоремой косинусов также называют следующие две формулы, легко выводимые из основной теоремы косинусов (см. с. 51, ф. (1.11-2)):
Теорема о проекциях
Источник: :
Теорема тангенсов (формулы Региомонтана)
Теорема котангенсов
Формулы Мольвейде
Решение треугольников
Вычисление неизвестных сторон, углов и других характеристик треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы, а также признаки равенства и подобия треугольников.
Площадь треугольника Далее используются обозначения — высоты, опущенные на стороны — полупериметр, для и аналогично, — медиана, проведённая к стороне
— радиус вписанной окружности, — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон соответственно, — радиус описанной окружности, , , — медианы, проведённые к сторонам , .
Площадь треугольника связана с его основными элементами следующими соотношениями:
— формула Герона; Sa ́ndor Nagydobai Kiss, «A Distance Property of the Feuerbach Point and Its Extension», Forum Geometricorum 16, 2016, 283—290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf ;
(см. #Описанная и вписанная окружности); Pathan, Alex, and Tony Collyer, "Area properties of triangles revisited, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 495—497.;
— ориентированная площадь треугольника; — см. Аналоги формулы Герона;
. Частные случаи — для прямоугольного треугольника; — для равностороннего треугольника.
Другие формулы Существуют другие формулы, такие, как напримерMitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral, " Mathematical Gazette 93, July 2009, 306—309.: