В математике теоремой Люка́ называется следующее утверждение об остатке от деления биномиального коэффициента на простое число p:
где и — представления чисел m и n в p-ричной системе счисления.
В частности, биномиальный коэффициент делится на простое число p нацело тогда и только тогда, когда хотя бы одна p-ричная цифра числа n превышает соответствующую цифру числа m.
Теорема была впервые выведена французским математиком Эдуардом Люка в 1878 году.
Доказательство Рассмотрим коэффициент при в многочлене над конечным полем . С одной стороны, он попросту равен . С другой стороны, так как
то, чтобы из последнего произведения получить коэффициент при , нужно из нулевого сомножителя взять коэффициент при , из первого — коэффициент при , a в общем случае из -го сомножителя — коэффициент при . Приравнивая коэффициенты, получаем
Литература (part 1); (part 2); (part 3)
Категория:Алгебра Категория:Комбинаторика Категория:Теория чисел Люка