Здесь приведён список векторных дифференциальных операторов в различных системах координат.
Общее выражение Общее выражение для оператора ∇, действующего на векторное поле A в произвольной системе ортогональных координат можно записать так:
,
где "" - любой из трех значков, соответствующих действию оператора ∇: " " - градиент; " · " - дивергенция; " × " - ротор. Элементы в этой записи соответствуют элементам радиус-вектора в соответствующей системе координат:
Иначе говоря, первым действием является взятие частной производной по проекции радиус-вектора от всего вектора (с учетом производных орт в данной системе координат), и лишь потом умножение (простое для градиента, скалярное для дивергенции и векторное для ротора) орта направления на .
При этом достаточно знать выражения: в цилиндрических координатах: и ; в сферических координатах: , , , и . Например: в приведенной ниже таблице запись дивергенции в цилиндрических координатах получена следующим образом:
Таблица операторов Здесь используются стандартные физические обозначения. Для сферических координат, обозначает угол между осью и радиус-вектором точки, — угол между проекцией радиус-вектора на плоскость и осью .
Запись оператора Гамильтона в различных системах координат Оператор Прямоугольные координаты () Цилиндрические координаты () Сферические координаты () Параболические координаты () Формулы преобразования координат Радиус-вектор произвольной точки Связь единичных векторов . Векторное поле Градиент Дивергенция Ротор Оператор Лапласа Векторный оператор Лапласа ? Элемент длины Элемент ориентированной площади Элемент объёма
Некоторые свойства Выражения для операторов второго порядка: (Оператор Лапласа)
(используя формулу Лагранжа для двойного векторного произведения)
См. также Оператор Д’Аламбера Ортогональные координаты Криволинейные координаты
Метод координат
Категория:Векторный анализ Категория:Системы координат Категория:Дифференциальные операторы