Гипергеометри́ческая фу́нкция (функция Гаусса) — одна из специальных функций. Определяется внутри круга как сумма гипергеометрического ряда
а при — как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого гипергеометрическим уравнением. Гипергеометрический ряд может рассматриваться как обобщение геометрического ряда (отсюда название); частный случай гипергеометрической функции является суммой геометрического ряда.
История Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет вид
Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно Гауссом. В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернхард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.
Гипергеометрическое уравнение Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера
где параметры , и могут быть произвольными комплексными числами. Его обобщение на произвольные регулярные сингулярные точки даётся дифференциальным уравнением Римана. Уравнение Эйлера имеет три особые точки: 0, 1 и .
Когда параметр не равен нулю и отрицательным целым числам регулярное в нуле решение уравнения Эйлера будет можно записать через ряд, называемый гипергеометрическим:
Эту функцию называют гипергеометрической. Часто применяют обозначение (символ Похгаммера)
где — гамма-функция (при по определению ). Тогда гипергеометрическую функцию можно представить в виде
Обозначение указывают, что есть два параметра, и , «идущие в числитель», и один, , «идущий в знаменатель». На границе ряд, через который определяется гипергеометрическая функция, абсолютно сходится, если действительная часть суммы , условно сходится при , и расходится, если . Второе линейно независимое решение дифференциального уравнения Эйлера имеет вид
Оно имеет особую точку при и справедливо при всех неположительных .
Интегральное представление для гипергеометрической функции при (формула Эйлера) может быть записано следующим образом:
где — гамма-функция Эйлера. Это выражение представляет собой однозначную аналитическую функцию на комплексной -плоскости с разрезом вдоль действительной оси от до и обеспечивает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость для гипергеометрического ряда, сходящегося лишь при .
Частные значения при Вторая теорема суммации Гаусса выражается формулой:
Теорема Бейли выражается формулой:
Запись других функций через гипергеометрическую Важным свойством гипергеометрической функции является то, что из неё могут быть получены многие специальные и элементарные функции при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.
Примеры
Полный эллиптический интеграл первого рода:
Полный эллиптический интеграл второго рода:
Полином Лежандра:
Присоединённая функция Лежандра:
Функции Бесселя:
Функция Куммера (Похгаммера), или
является решением вырожденного гипергеометрического уравнения
Вырожденная гипергеометрическая функция с целым неположительным первым аргументом представляет собой обобщённый полином Лагерра:
Тождества
И замечательный частный случай предыдущего выражения:
Примечания
Литература
— математические дополнения
Категория:Специальные функции Категория:Дифференциальные уравнения Категория:Объекты, названные в честь Карла Фридриха Гаусса