Инвариант Шварца (или производная Шварца или шварциан) — дифференциальный оператор вида
где — аналитическая функция. (Иногда используется обозначение .)
Свойства
Инвариант Шварца дробно-линейной функции равен нулю. Этот легко проверяемый факт является главным свойством инварианта Шварца. В то время как вторая производная измеряет близость функции к линейной, инвариант Шварца выполняет такую же роль для дробно-линейных функций. Если — аналитическая функция, а — дробно-линейное отображение, то будет выполняться соотношение , то есть дробно-линейное отображение не меняет инвариант Шварца. С другой стороны, производная Шварца f o g вычисляется по формуле,
Таким образом выражение
инвариантно относительно дробно-линейных преобразований. Более того, для произвольных, достаточное количество раз дифференцируемых функций f и g
Введём функцию от двух комплексных переменных . Рассмотрим выражение . Тогда производная Шварца выражается как
Производная Шварца имеет простую формулу для перестановки f и z . Выражение имеет следующий смысл: мы рассматриваем как координату, а как функцию. Затем вычисляем Шварциан . Мы предполагаем, что поэтому по теореме об обратной функции действительно является локальной координатой, а (используя это наблюдение, последнее свойство доказывается прямым вычислением).
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в аналитических функциях вида . Тогда его два линейно независимых решения и удовлетворяют соотношению .
Категория:Комплексный анализ Категория:Дифференциальные уравнения