Отображение Шварца — Кристоффеля — понятие в теории функций комплексного переменного, представляющее собой конформное отображение полуплоскости на внутренность простого многоугольника. Существование такого отображения гарантируется теоремой Римана об отображении. Эти отображения были независимо введены Элвином Кристоффелем в 1867 году и Карлом Шварцем в 1869 году.
Формулировка Предположим, что — некоторый -угольник, а функция осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости на . Тогда можно представить в виде , где — прообразы вершин на вещественной оси, также называемые акцессорными параметрами, — радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на (то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а и — комплексные константы, определяющие поворот, растяжение и сдвиг. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.
В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если -ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид , то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.
Трудность использования этих формул состоит в том, что точки в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).
Пример Рассмотрим полубесконечную полосу в -комплексной плоскости, ограниченную прямыми и , и уходящую вправо в бесконечность.
Эту область удобно рассматривать как предельный случай треугольника с вершинами , и , где — действительное число. При стремлении к бесконечности треугольник «растягивается» и переходит в полу-бесконечную полосу. В этом пределе внутренние углы треугольника равны .
Найдём конформное отображение , которое переводит верхнюю полуплоскость в эту полосу и удовлетворяет условиям .
По формуле Шварца — Кристоффеля такое отображение задаётся интегралом
Вычисление этого интеграла даёт
где — комплексная постоянная интегрирования. Из условий и следует, что и .
Следовательно, отображение Шварца — Кристоффеля имеет вид
Это отображение переводит верхнюю полуплоскость на полу-бесконечную полосу.
Другие простые отображения
Треугольник Отображение на плоский треугольник с внутренними углами задаётся формулой
которая может быть выражена через гипергеометрические функции или неполные бета-функции.
Верхняя полуплоскость отображается на треугольник, у которого сторонам соответствуют дуги окружностей, с помощью .
Квадрат Верхняя полуплоскость отображается на квадрат отображением
где — неполный эллиптический интеграл первого рода.
Примечания
Литература
§§267–270, pp. 665–677.
The Conformal Hyperbolic Square and Its Ilk Chamberlain Fong, Bridges Finland Conference Proceedings, 2016
Ссылки
Schwarz–Christoffel toolbox (программа для MATLAB)
Категория:Комплексный анализ