Уравнение Д’Аламбера — дифференциальное уравнение вида
где и — функции. Впервые исследовалось Ж. Д’Аламбером (J. D’Alembert, 1748). Известно также под названием уравнения Лагранжа, частный случай при называется уравнением Клеро.
Решение
Интегрирование дифференциальных уравнений такого типа производится в параметрическом виде, с помощью параметра
С учётом этой подстановки, исходное уравнение принимает вид
Дифференцирование по x даёт:
или
Особые решения
Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной , удовлетворяющей алгебраическому уравнению
так как для постоянного
Если , то , постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение:
так как в рассматриваемом случае , то . Окончательно можем написать: . Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым.
Общее решение
Будем рассматривать обратную функцию к , тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать: .
Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, решая которое, получим выражение для x как функцию от p:
Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде: .
Исключая из этой системы переменную p, получим общие решение в виде .
Примечания
Категория:Дифференциальные уравнения Д’Аламбера