Французская железнодорожная метрика является необычным примером метрики.
Название этой метрики произошло из-за очень централизованно проложенной (особенно раньше) железнодорожной сети Франции, в которой чуть ли не все пути сходились в Париже.
Последствия этого были таковы, что, например, чтобы добраться по железной дороге из Страсбурга в Лион, нужно сделать крюк в 400 км через Париж — приходилось мириться с тем, что нет прямого сообщения.
Это побудило одного неизвестного математика определить следующую метрику: если есть некоторое множество точек плоскости (города Франции с железнодорожным сообщением через Париж) и — фиксированная выбранная точка (Париж), то можно определить на метрику следующим образом:
Здесь следует понимать как расстояние по железнодорожному пути от города до города .
Эта конструкция допускает элементарное обобщение на любое нормированное пространство.
Свойства В невырожденном случае, то есть когда существуют неколлинеарные векторы, французская железнодорожная метрика — простейший пример метрики, которая не порождается нормой.
Действительно, предположим противное. Пусть такая норма существует. Возьмём два неколлинеарных вектора и , для которых . Тогда векторы и также неколлинеарны, и выполняется
.
Для метрики , порожденной нормой, это неравенство нарушается:
Следовательно, не существует нормы , порождающей французскую железнодорожную метрику в том смысле, что
Названия при p = 0 Для нормы на метрикой французского метро называется метрика на , определённая как:
Иными словами, метрика французского метро определена как длина кратчайшего пути из точки x в точку y, если x, y и начало координат находятся на одной прямой, и длина кратчайшего пути из x в y, проходящего через начало координат, в противном случае.
Метрика французского метро совпадает с французской железнодорожной метрикой в частном случае, когда Париж находится в начале координат (p = 0).
Для евклидовой нормы метрика французского метро называется также парижской метрикой, метрикой ежа, радиальной метрикой или усиленной метрикой SNCF.
Метрика британской железной дороги Для нормы на (в общем случае на ) метрикой британской железной дороги называется метрика на (на ), определённая как
если , и как 0 в противном случае. Её называют также метрикой почты (), метрикой гусеницы и метрикой челнока.
Иными словами, в соответствии с метрикой британской железной дороги приходится делать крюк через начало координат всегда, если только пункт отправления не совпадает с пунктом назначения.
В Великобритании метрикой британской железной дороги () иногда называют метрику французского метро.
Примеры {|class="wikitable" style="text-align: center" |- !p !x !y !ФЖДМФранцузская железнодорожная метрика. !МФММетрика французского метро. !МБЖДМетрика британской железной дороги (не по тому определению, которое используется в Великобритании). |- !rowspan="2"|
!rowspan="4"|
См. также Расстояние городских кварталов Расстояние Чебышёва
Примечания
Категория:Метрическая геометрия