Равногранный тетраэдр — определённый тип тетраэдра в евклидовом пространстве.
По-видимому, впервые равногранные тетраэдры подробно изучались Адольфом Шмидтом в 1884 годуAd. Schmidt, Das gleichseitige Tetraeder , Schlömilch Z. XXIX, 321—343 (1884). и Давидом Бессо в 1886 годуD. Besso, Sul tetraedro a facce eguali, Besso Per. I. 1-12 (1886).. В 1935 году свойства равногранных тетраэдров систематически изложены в книгеP. Couderc, A. Balliccioni. Premier livre du tétraèdre. A l’usage des élèves de première, de mathématiques, des candidats aux grandes écoles et à l’agrégation. Paris, Gauthier-Villars (1935). 204 p..
Определение Тетраэдр называется равногранным, если все его грани — равные между собой треугольники.
Свойства Существует ряд эквивалентных определений равногранного тетраэдра:
описанный около него параллелепипед — прямоугольный; его развёртка, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам, — треугольник (этот треугольник должен быть остроугольным, потому что тупоугольный или прямоугольный при сгибании по средним линиям не сложится в тетраэдр); его развёртка, полученная при разрезании ломаной из трёх звеньев, — параллелограмм; у него имеется три оси симметрии — это общие перпендикуляры, проведённые к противоположным рёбрам, они же бимедианы; все его трёхгранные углы равны сумма углов треугольников при каждой вершине равна ); сумма косинусов двугранных углов при каждой вершине равна 1; все его медианы равны; все его высоты равны; центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают; радиусы окружностей описанных около граней равны; периметры граней равны; площади граней равны; противоположные двугранные углы равны; противоположные рёбра равны; центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере; среди выпуклых многогранников, равногранные тетраэдры и только они допускают произвольно длинные замкнутые геодезические без самопересечений на своих поверхностях; (То же свойство выделяет равногранные тетраэдры среди всех замкнутых выпуклых поверхностей.Akopyan, Arseniy; Petrunin, Anton; Long Geodesics on Convex Surfaces. Math. Intelligencer 40 (2018), no. 3, 26—31, ) тетраэдр является равногранным тогда и только тогда когда выполняется равенство . Здесь , , , и — объём тетраэдра .
Примечания
Литература В. Александров. Вращающееся кольцо тетраэдров «Квант», № 5, 2001 г. С.31. В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин Задачи по стереометрии. М.: Наука, 1989. 288 с ISBN 5-02-013921-1; Тираж 163000 экз. Серия Библиотека математического кружка, выпуск 19.
Ссылки
Категория:Тетраэдры