Машинный ноль (Машинный нуль) — числовое значение с таким отрицательным порядком, которое воспринимается машиной как ноль.
Машинный эпсилон () — числовое значение, меньше которого невозможно задавать относительную точность для любого алгоритма, возвращающего вещественные числа. Абсолютное значение «машинного эпсилон» зависит от разрядности сетки применяемой ЭВМ, типа (разрядности) используемых при расчетах чисел, и от принятой в конкретном трансляторе структуры представления вещественных чисел (количества бит, отводимых на мантиссу и на порядок). Подбельский В. В., Фомин С. С. Программирование по на языке Си: Учеб.пособие. Москва: Изд-во Финансы и статистика, 2003. Формально машинный эпсилон обычно определяют как минимальное из чисел ε, для которого 1+ε>1 при машинных расчетах с числами данного типа. Альтернативное определение — максимальное ε, для которого справедливо равенство 1+ε=1.
Практическая важность машинного эпсилон связана с тем, что два (отличных от нуля) числа являются одинаковыми с точки зрения машинной арифметики, если их относительная разность по модулю меньше (при определении первого типа) или не превосходит (при определении второго типа) машинного эпсилон.
В языках программирования
Язык Си В языке Си существуют предельные константы FLT_EPSILON, DBL_EPSILON и LDBL_EPSILON являющиеся «машинными эпсилон», соответствующими первому определению: FLT_EPSILON = 2−23 ≈ 1.19e-07 — это машинный эпсилон для чисел типа float (32 бита), DBL_EPSILON = 2−52 ≈ 2.20e-16 — для типа double (64 бита), и LDBL_EPSILON = 2−63 ≈ 1.08e-19 — для типа long double (80 бит). При альтернативном определении соответствующие машинные эпсилон будут вдвое меньше: 2−24 , 2−53 и 2−64 .В некоторых компиляторах Си (например gcc, Intel’s C/C++ compiler) допускается использование переменных четверной точности (_float128, _Quad). Соответствующие машинные эпсилон равны 2−112 ≈ 1.93e-34 и 2−113 ≈ 9.63e-35.
Пример Пример вычисления машинного эпсилона (не путать с машинным нулём) на языке Си. float macheps(void) { float e = 1.0f;
while (1.0f + e / 2.0f > 1.0f) e /= 2.0f; return e; } Пример на языке C++. # include <iostream> # include <stdint.h> # include <iomanip>
template<typename float_t, typename int_t> float_t machine_eps() { union { float_t f; int_t i; } one, one_plus, little, last_little;
one.f = 1.0; little.f = 1.0; last_little.f = little.f;
while(true) { one_plus.f = one.f; one_plus.f += little.f;
if( one.i != one_plus.i )
last_little.f = little.f; little.f /= 2.0;
else
return last_little.f;
int main() { std::cout << "machine epsilon:\n"; std::cout << "float: " << std::setprecision(18)<< machine_eps<float, uint32_t>() << std::endl; std::cout << "double: " << std::setprecision(18) << machine_eps<double, uint64_t>() << std::endl; } Пример на Python def machineEpsilon(func=float): machine_epsilon = func(1) while func(1)+func(machine_epsilon) != func(1): machine_epsilon_last = machine_epsilon machine_epsilon = func(machine_epsilon) / func(2) return machine_epsilon_last
Вывод может быть таким (с использованием IPython):
In : machineEpsilon(int) Out: 1
In : machineEpsilon(float) Out: 2.2204460492503131e-16
In : machineEpsilon(complex) Out: (2.2204460492503131e-16+0j)
См. также −0 (программирование)
Примечания
Категория:Компьютерная арифметика Категория:Ноль