B-дерево — структура данных, дерево поиска. С точки зрения внешнего логического представления — сбалансированное, сильно ветвистое дерево. Часто используется для хранения данных во внешней памяти.

Использование B-деревьев впервые было предложено Р. Бэйером () и Э. МакКрейтом () в 1970 году.

Сбалансированность означает, что длины любых двух путей от корня до листьев различаются не более, чем на единицу.

Ветвистость дерева — это свойство каждого узла дерева ссылаться на большое число узлов-потомков.

С точки зрения физической организации B-дерево представляется как мультисписочная структура страниц памяти, то есть каждому узлу дерева соответствует блок памяти (страница). Внутренние и листовые страницы обычно имеют разную структуру.

Применение Структура B-дерева применяется для организации индексов во многих современных СУБД.

B-дерево может применяться для структурирования (индексирования) информации на жёстком диске (как правило, метаданных). Время доступа к произвольному блоку на жёстком диске очень велико (порядка миллисекунд), поскольку оно определяется скоростью вращения диска и перемещения головок. Поэтому важно уменьшить количество узлов, просматриваемых при каждой операции. Использование поиска по списку каждый раз для нахождения случайного блока могло бы привести к чрезмерному количеству обращений к диску вследствие необходимости последовательного прохода по всем его элементам, предшествующим заданному, тогда как поиск в B-дереве, благодаря свойствам сбалансированности и высокой ветвистости, позволяет значительно сократить количество таких операций.

Относительно простая реализация алгоритмов и существование готовых библиотек (в том числе для C) для работы со структурой B-дерева обеспечивают популярность применения такой организации памяти в самых разнообразных программах, работающих с большими объёмами данных.

Структура и принципы построения B-деревом называется дерево, удовлетворяющее следующим свойствам: Ключи в каждом узле обычно упорядочены для быстрого доступа к ним. Корень содержит от 1 до 2t-1 ключей. Любой другой узел содержит от t-1 до 2t-1 ключей. Листья не являются исключением из этого правила. Здесь t — параметр дерева, не меньший 2 (и обычно принимающий значения от 50 до 2000). У листьев потомков нет. Любой другой узел, содержащий ключи , …, , содержит потомков. При этом Первый потомок и все его потомки содержат ключи из интервала Для , i-й потомок и все его потомки содержат ключи из интервала -й потомок и все его потомки содержат ключи из интервала Глубина всех листьев одинакова.

Свойство 2 можно сформулировать иначе: каждый узел B-дерева, кроме листьев, можно рассматривать как упорядоченный список, в котором чередуются ключи и указатели на потомков.

Поиск Если ключ содержится в корне, он найден. Иначе определяем интервал и идём к соответствующему потомку. Повторяем.

Добавление ключа Будем называть деревом потомков некоего узла поддерево, состоящее из этого узла и его потомков.

Вначале определим функцию, которая добавляет ключ K к дереву потомков узла x. После выполнения функции во всех пройденных узлах, кроме, может быть, самого узла x, будет меньше , но не меньше , ключей. Если х — не лист, Определяем интервал, где должен находиться K. Пусть y — соответствующий потомок. Рекурсивно добавляем K к дереву потомков y. Если узел y полон, то есть содержит ключей, расщепляем его на два. Узел получает первые из ключей y и первые его потомков, а узел  — последние из ключей y и последние его потомков. Медианный из ключей узла y попадает в узел х, а указатель на y в узле x заменяется указателями на узлы и . Если x — лист, просто добавляем туда ключ K.

Теперь определим добавление ключа K ко всему дереву. Буквой R обозначается корневой узел. Добавим K к дереву потомков R. Если R содержит теперь ключей, расщепляем его на два. Узел получает первые из ключей R и первые его потомков, а узел  — последние из ключей R и последние его потомков. Медианный из ключей узла R попадает во вновь созданный узел, который становится корневым. Узлы и становятся его потомками.

Удаление ключа Если корень одновременно является листом, то есть в дереве всего один узел, мы просто удаляем ключ из этого узла. В противном случае сначала находим узел, содержащий ключ, запоминая путь к нему. Пусть этот узел — .

Если  — лист, удаляем оттуда ключ. Если в узле осталось не меньше ключей, мы на этом останавливаемся. Иначе мы смотрим на количество ключей в двух соседних узлах-братьях. Если соседний правый узел есть, и в нём не менее ключей, мы добавляем в ключ-разделитель между ним и соседним правым узлом, а на место этого ключа ставим первый ключ соседнего правого узла, после чего останавливаемся. Если это не так, но есть соседний левый узел, и в нём не менее ключей, мы добавляем в ключ-разделитель между ним и соседним левым узлом, а на место этого ключа ставим последний ключ соседнего левого узла, после чего останавливаемся. Наконец, если и с левым ключом не получилось, мы объединяем узел с соседним левым или правым узлом, и в объединённый узел перемещаем ключ, до этого разделявший эти два узла. При этом в родительском узле может остаться только ключей. Тогда, если это не корень, мы выполняем аналогичную процедуру с ним. Если мы в результате дошли до корня, и в нём осталось от 1 до ключей, делать ничего не надо, потому что корень может иметь и меньше ключей. Если же в корне не осталось ни одного ключа, исключаем корневой узел, а его единственный потомок делаем новым корнем дерева.

Если  — не лист, а K — его -й ключ, удаляем самый правый ключ из поддерева потомков -го потомка , или, наоборот, самый левый ключ из поддерева потомков -го потомка . После этого заменяем ключ K удалённым ключом. Удаление ключа происходит так, как описано в предыдущем абзаце.

Основные достоинства Во всех случаях полезное использование пространства вторичной памяти составляет свыше 50 %. С ростом степени полезного использования памяти не происходит снижения качества обслуживания. Произвольный доступ к записи реализуется посредством малого количества подопераций (обращения к физическим блокам). В среднем достаточно эффективно реализуются операции включения и удаления записей; при этом сохраняется естественный порядок ключей с целью последовательной обработки, а также соответствующий баланс дерева для обеспечения быстрой произвольной выборки. Неизменная упорядоченность по ключу обеспечивает возможность эффективной пакетной обработки.

Основной недостаток В-деревьев состоит в отсутствии для них эффективных средств выборки данных (то есть метода обхода дерева), упорядоченных по свойству, отличному от выбранного ключа.

Варианты (a,b)-дерево (a,b)-деревья — это обобщение B-деревьев. B-деревья требуют, чтобы каждая внутренняя вершина имела минимум и максимум потомков для некоторого предварительно установленного значения . Деревья (a,b) позволяют числу потомков внутренней вершины быть произвольно малым. В (a,b)-дереве каждая внутренняя вершина имеет количество потомков между и для некоторых предварительно заданных значений и .

См. также Поиск в глубину Поиск в ширину Сбалансированные (самобалансирующиеся) деревья: АВЛ-дерево Матричное дерево Идеально сбалансированное дерево Расширяющееся дерево B+-деревья 2-3-дерево R-дерево B*-дерево Красно-чёрное дерево Список структур данных (деревья)

Примечания

Литература

Ссылки http://algolist.manual.ru/ds/s_btr.php Визуализаторы В-деревьев видео: B-дерево — объяснение алгоритма заполнения дерева

Категория:B-деревья