Вторая квадратичная форма (или вторая фундаментальная форма) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.
Вторая квадратичная форма часто обозначается , а её компоненты традиционно обозначаются , и .
Знание первой и второй квадратичных форм достаточно для вычисления главных кривизн, средней и гауссовой кривизн поверхности.
Определение
Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением поверхность задана уравнением где и ― внутренние координаты на поверхности; ― дифференциал радиус-вектора вдоль выбранного направления смещения из точки в бесконечно близкую точку ; — нормальный вектор к поверхности в точке . Тогда вторая квадратичная форма имеет вид
где коэффициенты определяются формулами:
где обозначает смешанное произведение векторов и ― коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.
Связанные определения
Оператор формы или оператор Вайнгартена линейный оператор на касательной плоскости определяемый как
где — поле единичных нормалей к поверхности. Оператор формы связан с второй квадратичной формой следующим соотношением:
Собственные значения оператора формы называются главными кривизнами поверхности в точке, а собственные направления оператора формы называются главными направлениями поверхности в точке. Кривые на поверхности, идущие в главных направлениях называются линиями кривизны.
Нормальная кривизна по направлению вычисляется по формуле
где — первая квадратичная форма. Направление с нулевой нормальной кривизной называется асимптотическим, а кривая на поверхности идущая в асимптотическом направлении называется асимптотической кривой.
Вычисление
График функции В частном случае, когда поверхность представляет собой график функции в трёхмерном евклидовом пространстве с координатами , коэффициенты второй квадратичной формы принимают вид:
Вариации и обобщения
Гиперповерхности Рассмотрим гиперповерхность в m-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением . Пусть — локальная карта поверхности в точке .
Тогда коэффициенты второй квадратичной формы вычисляется по формуле
где обозначает единичный вектор нормали.
Бо́льшая коразмерность
Вторая фундаментальная форма определяется также и для подмногообразий произвольной коразмерности.c. 128 в M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992M. Dajczer and R. Tojeiro. Submanifold theory. Universitext. Beyond an introduction. Springer, New York, 2019
где обозначает проекцию ковариантной производной на нормальное пространство.
В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве. Оператор формы зависит от нормального вектора и определяется через следующее соотношение:
Для подмногообразий евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:
Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие вложено в риманово многообразие тогда тензор кривизны многообразия снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны объемлющего многообразия :
По теореме КартанаE. Cartan. “Sur les variétés de courbure constante d’un espace euclidien ou non-euclidien”. Bull. Soc. Math. France 47 (1919), 125–160.J. D. Moore. “Isometric immersions of space forms in space forms”. Pacific J. Math. 40 (1972), 157–166., вторая квадратичная форма для вложения плоского -мерного многообразия в -мерное Евклидово пространство либо вырождена, то есть существует ненулевой касательный вектор такой, что
для любого касательного вектора , либо она представляется в следующем виде:
где — ортонормированный базис в нормальном пространстве и — линейно независимые линейные функции на касательном пространстве.
В частности, вторая квадратичная форма вложения плоского -мерного многообразия в Евклидово пространство размерности меньше является вырожденной.
См. также Первая квадратичная форма Третья квадратичная форма Уравнения Петерсона ― Кодацци — полный набор соотношений для первой и второй квадратичной формы поверхности.
Примечания
Литература
Чернавский, А. В.. Лекции по классической дифференциальной геометрии (2 курс)
Категория:Дифференциальная геометрия поверхностей Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия